Ближайший к нулю корень уравнения, с точностью ε, тремя различными методами. Методы, применяемые для решения задачи

Министерство высшего образования УР.

Удмуртский Государственный Университет.

Кафедра «теплоэнергетики»

Отчёт

 по лабораторной работе №1

Выполнил студент гр.34-31

Проверил преподаватель

Ижевск 2005.

Записка:

1.  постановка задачи

2.  исходные данные

3.  решение

4.  вывод

1.  В лабораторной работе для данных уравнений найти ближайший к нулю корень уравнения, с точностью ε, тремя различными методами, а именно: методом половинного деления, простых итераций и методом Ньютона. Для метода Дихотомии найти число произведенных итераций заранее. Сравнить их вычислительную эффективность для данных уравнений .

2.  Решить задачу (1) для данных уравнений:

2.1.    , где p = 0,2;  q = 0,3

2.2.   , где а= 0; b = 1; c = -3.

2.3.  точность ε= 0,0001

3.  методы, применяемые для решения задачи (1)

3.1.  Дихотомия (деление пополам)

Это метод применяется, если мы имеем только единственный корень на отрезке [a,b]. Пусть мы нашли такие точки a, b, что , т.е. на отрезке [a,b] лежит не менее одного корня уравнения, найдем середину отрезка   и вычислим f(ξ). Из двух половин отрезка выберем ту, для которой , ибо один из корней лежит на этой половине. Затем новый отрезок опять делим пополам и выберем ту половину, на концах которой функция имеет разные знаки, и т.д. Если требуется найти корень с точностью ε, то продолжаем деление пополам до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше заданного значения ε, в данной задаче равным 0,0001. Дихотомия проста и очень надежна: к простому корню она сходится для любых непрерывных функций f(x), в том числе недифференцируемых: при этом она устойчива к ошибкам округления. Скорость сходимости невелика: за одну итерацию точность увеличивается примерно вдвое. Зато точность ответа гарантируется. Метод неприменим к корням четной кратности. Для корней нечетной высокой кратности он сходится, но менее точен и хуже устойчив к ошибкам округления, возникающих при вычислении f(x). Дихотомия применяется тогда, когда требуется высокая надежность счета, а скорость сходимости малосущественна.

Решим первое уравнение, применив дихотомию для нахождения корня:

Построим график исходной функции

Проведем расчет данным методом

Для начала расчета вычислим число итераций необходимых для решения данного уравнения с заданной степенью точности, по формуле:

где n – число итераций, ε – точность, заданная в условии задачи.

Проведя преобразования в уравнении для нахождения “n” получим, что необходимо выполнить n= 13.28771 итераций.