Предмет механики жидкости и газа. Параметры потока. Методы задания движения. Деформационное и вращательное движение жидкости, страница 7

Одномерное течение отличается изменением параметров потока только в одном направлении. Уравнения этих течений являются частными случаями общих уравнений движения.

Уравнение неразрывности

                                        (5.8)

Уравнение переноса импульса. Из уравнения (5.2) для установившегося одномерного потока при  следует

                                              (5.9)

Интегрируя это выражение, получим  В итоге пришли к уравнению Бернулли (5.7).

Уравнение энергии. Для изоэнтропийного потока уравнения переноса импульса и энергии тождественны.

В уравнении (5.7) первое слагаемое есть удельная энтальпия

                          (5.10)

Таким образом, с учетом (5.10) уравнение (5.7) примет вид

                                              (5.11)

Постоянную найдем из условия полного торможения потока, т.е. при :

                                  (5.12)

где  – удельная энтальпия заторможенного потока;  называются параметрами заторможенного потока. При полном торможении вся кинетическая энергия потока переходит в теплоту.

Из уравнения (5.11) с учетом (5.12) следует

                                                 (5.13)

Часто используются и другие формы записи уравнения (5.13)

                                     (5.13а)

                                          (5.13б)

5.2.1. Скорость звука

Скорость звука – это скорость распространения малых возмущений в данной среде. С целью вывода зависимости для ее расчета обратимся к основам теории ударных волн. Предположим, что в сечении 1 – 1 канала возникла сильная волна сжатия, которая за время  переместится на расстояние  в сечение 2 – 2 (рис. 5.1). Скорость движения волны составляет  приращение давления  а приращение плотности  Под действием перепада давления  за счет изменения плотности  внутрь объема  втекает масса газа  где  – живое сечение канала. С другой стороны, из уравнения неразрывности потока следует  Из двух последних выражений имеем

.                                              (5.14)

Зависимость (5.14) определяет взаимосвязь скорости распространения волны и скорости газа, движущегося позади фронта волны в том же направлении.

Рис. 5.1

Теперь воспользуемся законом изменения количества движения для газа в объеме : изменение количества движения равно импульсу силы, вызванной разностью давлений в сечениях 1 – 1 и 2 –2,

Отсюда скорость волны

                                         (5.14а)

Решая данное уравнение совместно с зависимостью (5.14), получаем

                                          (5.15)

В случае слабой волны  и тогда

                                              (5.16)

Слабая волна является не чем иным, как акустической волной, поэтому формула (5.16) определяет скорость звука . Из сопоставления уравнений (5.15) и (5.16) следует, что скорость распространения сильной волны сжатия всегда больше скорости звука.

Считая распространение звуковых волн изоэнтропийным, из уравнений (1.4) и (5.16) имеем

                                         (5.17)

5.2.2. Относительные параметры течения.

Газодинамические финкции

Из уравнения (5.13) следует, что скорость достигает максимального значения при , и тогда . Подставив сюда  из формулы (5.12), получим

,                        (5.18)

где  – скорость звука в заторможенном потоке,

.

С учетом зависимостей (5.17) и (5.18) уравнение (5.13) можно записать в виде

.                                            (5.20)

Из уравнения (5.20) следует, что с увеличением  до  скорость звука  изменяется от  до нуля (рис. 5.2). Точка А называется критической. Скорость в этой точке называется критической  и равна критической скорости звука. Сечение канала, в котором скорость достигает значения , называется критическим . В нем соответствующие значения принимают все параметры потока (; ; ).

Для критического сечения, согласно уравнениям (5.18) и (5.20), можно записать

,    или   .                  (5.21)