Предмет механики жидкости и газа. Параметры потока. Методы задания движения. Деформационное и вращательное движение жидкости, страница 11

где и – пульсационные составляющие скорости и давления. В проекциях на координатные оси (ограничимся осью 0x) получаем

Полагая, что уравнения движения в напряжениях могут быть пригодны для описания турбулентных течений, после введения в уравнение (3.20) осредненных параметров получим

(6.1)

где

Аналогичные уравнения можно записать для осей 0y и 0z. Эти уравнения получены Рейнольдсом и носят его имя.

Уравнения Рейнольдса и неразрывности потока образуют незамкнутую систему, так как в нее входят шесть неизвестных пульсационных составляющих.

6.2. Гидродинамическое подобие

Различают геометрическое, кинематическое и динамическое подобие потоков. Геометрическое подобие заключается в подобии сходных геометрических размеров; кинематическое – в подобии скоростных полей, динамическое – в подобии силовых полей. Последнее подобие невозможно без выполнения первых двух.

Соблюдение условий подобия необходимо при моделировании машин, аппаратов и процессов, происходящих в них. Исследуя модель и используя условия подобия, можно перенести результаты исследований на реальный объект.

Процессы будут подобными, если они описываются тождественными уравнениями с тождественными граничными условиями.

Условия гидродинамического подобия можно получить из уравнения (3.23), приводя его к безразмерному виду. Для этого введем безразмерные величины, выразив их через соответствующие масштабы: L – масштаб длины, – масштаб скорости, – масштаб времени, – масштаб массовых сил, – масштаб давления. В этом случае безразмерные величины будут равны

(6.2)

С учетом (6.2) уравнение (3.22) примет вид

Безразмерные коэффициенты называются критериями подобия. В данном уравнении таковыми являются:

(6.3)

где Sh – критерий Струхаля, Fr – критерий Фруда, Eu – критерий Эйлера, Re – критерий Рейнольдса. Для подобных процессов одноименные критерии подобия должны быть равными.

Для сжимаемой жидкости критерий Эйлера имеет вид

(6.4)

Критерии подобия имеют вполне определенный физический смысл и выражают отношение сил, действующих в потоке: Sh – соотношение сил инерции, вызванных локальными и конвективными ускорениями; Eu – отношение сил давления к силам инерции, Re – отношение сил инерции к силам вязкого трения, Fr – отношение сил инерции к массовым силам.

Выбор линейного размера в критериях подобия зависит от постановки задачи. Так, при расчете круглых трубопроводов в качестве линейного размера принимается диаметр труб. Если канал имеет некруглое сечение, то вводится эквивалентный диаметр , где П – смоченный периметр канала, – его живое сечение.

За масштаб скорости принимается средняя скорость . В этих случаях критерий Рейнольдса имеет вид

(6.5)

При продольном обтекании потоком тонкого профиля за линейный размер принимается его длина.

6.3. Ламинаpное течение

Упростим уравнения Навье-Стокса, приняв следующие условия: движение установившееся, массовыми силами можно пренебречь, движение происходит вдоль оси 0х со скоростью так что .

Из уравнения (3.7) следует . При этих условиях уравнение (3.22) примет вид

. (6.6)

Зависимость (6.6) называется уравнением слоистых течений.

6.3.1. Течение в плоском канале

Рассмотpим движение жидкости вдоль оси 0x в канале, обpазованном двумя паpаллельными пластинами (pис. 6.1).

Рис. 6.1

С целью упрощения задачи введем понятие бесконечной шиpины канала , удовлетвоpяющее условию В этом случае можно записать и уpавнение (6.6) пpиводится к виду