Другие предметы \ Основы научных исследований

Методы прикладной математической статистики. Методы оптимизации в научных исследованиях. Математическое планирование экспериментов, страница 2

Общие сведения: из раздела 2.2.1. курса лекций [1] известно, что для аппроксимации по методу МНК линейной зависимости `yx = a + bx (т.е. нахождения коэффициентов a и b), необходимо решить систему так называемых нормальных уравнений:

åyi = na + båxi

åxiyi = aåxi +båxi2             (1)

В данной работе необходимо будет научиться аппроксимировать экспериментальную выборку данных тем или иным видом функций (алгебраический полином, экспоненциальная, показательная и др.).

Для нахождения по методу МНК коэффициентов аппроксимирующей зависимости полезно привести систему нормальных уравнений к виду  (1). Для этого необходимо «лине-      аризовать» аппроксимирующую функцию.

Например, мы хотим аппроксимировать экспериментальные данные показательной зависимостью вида y = axb . Прологарифмируем эту зависимость, приведя её к  виду lgy = lga + blgx. Тогда для нахождения искомых констант a  и  b следует решить систему:

ålgyi = nlga + bålgxi

ålgxi lgyi = lgaåxi +bå(lgxi )2                                                   (2)

Решение системы (2) даст значения lga и b. Коэффициент a найдём путём потенцирования lga.

Варианты заданий (см. Приложение 7).

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ №7

Допустим, нам необходимо аппроксимировать исходные данные, представленные следующей таблицей

x

1

2

3

4

5

y

3,3

5,44

8,96

14,78

24,36

зависимостью вида y = aebx.

Решение

1. Линеаризуем выражение   y = aebx. Для этого прологарифмируем левую и правую его части.

Lg y = lga + bxlge Þ lg y = lga + (blge)x (3)

Система нормальных уравнений для нахождения констант (lga и blge) уравнения (3) будет следующей:

ålg yi = nlga + (blge)åxi

å lg yi× xi = lgaåxi + (blge)åxi2                                                (4)

2. Составим вспомогательную таблицу

xi

1

2

3

4

5

åxi =15

xi2

1

4

9

16

25

åxi2=55

lg yi

0,52

0,74

0,95

1,17

1,39

ålg yi =4,77

(lg yi)× xi

0,52

1,48

2,85

4,68

6,95

å(lg yi)× xi =16,48

В соответствии с (4), имеем следующую систему:

5lga + 15(b×lge) = 4,77

15lga + 55(b×lge) = 16,48.

Сократив вторую строку системы на «три», получим:

5lga + 15(b×lge) = 4,77

5lga + 18,33(b×lge) = 5,49

Вычтя теперь из второй строки первую, получим:

3,33 b×lge = 0,72 Þ 1,45;  b = 0,72 Þ b = 0,49

            Значение a найдём из первой строки системы:

lga + 3(b×lge) = 0,95 Þ lga + 0,65 = 0,95 Þ lga = 0,3 Þ a = 1,98.

Таким образом, искомое уравнение будет:     y = 1,98e0,49x.

Проверка

Рассчитаем значения   yi  по уравнению  y = 1,98e0,49x при заданных значениях xi.

xi

1

2

3

4

5

yi

3,26

5,38

8,60

14,05

23,00

Близость полученных результатов исходным данным свидетельствует о хорошей аппроксимации.


ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ №1

Таблица П1.1

Скачать файл