Понятие периодической функции. Гармоники и тригонометрический ряд. Спектр последовательности прямоугольных импульсов, страница 3

Вернемся к параграфу 2, где указано, что системы (Т1) – (Т5) являются полными ортогональными системами. Тогда, согласно теореме 3.1, по этим системам можно построить соответствующие ряды Фурье для кусочно-непрерывных функций, определенных на соответствующем отрезке. В этом случае достаточно научиться вычислять коэффициенты Фурье по соответствующей системе (Т1).

4 РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ ПЕРИОДА 2l НА [-l,l] ПО ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ. ТЕОРЕМА ДИРИХЛЕ О ПОТОЧЕЧНОЙ СХОДИМОСТИ.

Пусть функция  задана на отрезке [-l,l]. Данную функцию можно продолжить на всю числовую ось с периодом 2l. Обратно, если  - периодическая функция периода 2l, то ее аналитическое задание (задание с помощью формул) достаточно знать на [-l,l]. Этим фактом в последующих параграфах мы и будем пользоваться.

Лемма 4.1. Если функция  является периодической с периодом T, то

Данная лемма позволяет вычислять коэффициенты Фурье функции  по системам (Т1) – (Т5) на соответствующем отрезке.

Пусть  - периодическая функция периода 2l. Найдем коэффициенты Фурье данной функции, заданной на [-l,l] по тригонометрической системе (Т1)

Коэффициенты  по функциям  обозначим через , а по  через . Согласно формулы (КФ) (п.3) получаем

 

Здесь ,  (см., (2.4)).

Тогда ряд Фурье по системе (Т1) имеет вид

,                                                         (ФТ1)

где коэффициенты Фурье считаются по формулам

                  (КФТ1)

Сходимость ряда (ФТ1) в среднем следует из теоремы 3.1. Спрашивается, каким условиям должна удовлетворять периодическая функция  периода для того что бы n-я частичная сумма  ряда (ФТ1) сходилась к  поточечно.

Определение. Будем говорить, что функция  удовлетворяет условиям Дирихле на [a,b], если:

а. Функция  непрерывна на [a,b], либо имеет конечное число точек разрыва первого рода;

б.  монотонна на [a,b], либо имеет конечное число экстремумов.

Теорема Дирихле. Пусть  периодическая функция с периодом  и на каждом конечном отрезке  удовлетворяет условиям Дирихле. Тогда:

1) Ряд Фурье (ФТ1) сходится в каждой точке t числовой оси;

2) Сумма  ряда Фурье (ФТ1) равна функции  во всех точках непрерывности функции ;

3) Сумма  ряда Фурье (ФТ1) равна

если  - точка разрыва первого рода для , где

Равенство Парсеваля для ряда (ФТ1) имеет вид

Пример. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом =2, заданную следующим образом

Решение. График заданной функции имеет вид

Рисунок 4.1

Данная функция является непрерывной на [-1, 1]. Найдем коэффициенты Фурье функции  по формулам (КФТ1).

Имеем

Интеграл вычислим по частям, полагая

Тогда

Аналогично

ряд заданной функции имеет вид

Согласно теореме Дирихле мы можем записать следующее равенство:

Равенство Парсеваля

5 РЯД ФУРЬЕ ПО КОСИНУСАМ И СИНУСАМ ДЛЯ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ, ПЕРИОДА l ЗАДАННОЙ НА [0, l]

Пусть периодическая функция  периода l на отрезке [0,l] является кусочно-непрерывной. В пункте 2 указано, что система функций (Т2)

                                                                        (Т2)

является полной ортогональной системой функций на [0, l]. Тогда согласно теореме 3.1 для  можно построить ряд Фурье системе (Т2), который сходится к  в среднем.

Данный ряд имеет вид

                                                                           (ФТ2)

где коэффициенты Фурье, согласно формулы (КФ) пункта 3 находятся следующим образом:

,

Так как , то последние соотношение преобразуется к виду

                                                      (КФТ2)

Равенство Парсеваля имеет вид:

Если строить ряд Фурье по системе (Т3), то есть по системе синусов, то он будет иметь вид

                                                                               (ФТ3)

для которого коэффициенты Фурье находятся по формулам

                                                                            (КФТ3)

Равенство Парсеваля имеет вид

Задача 5.1. Предлагается сформулировать теорему Дирихле для рядов Фурье (ФТ») и (ФТ№).

При исследовании суммы  рядов Фурье (ФТ2) и (ФТ3) остановим свой взгляд на точках 0 и l, где, вообще говоря, функция  на является непрерывной. Оказывается, что

Аналогично,