Исследование статики объекта методом активного эксперимента. Описание статической характеристики объекта с одной входной и одной выходной величинами линейным уравнением, страница 4

Первоначально записывают план для двух факторов  и . Затем подписывают под этой матрицей точно такую же матрицу (на рис. выделено жирной линией). Значение  для первых четырех опытов берут равным , а для остальных четырех берут равным  (записано в столбце для ). В результате получают матрицу полного факторного эксперимента для трех факторов, причем число опытов в этом случае равно .

Далее под матрицей планирования для трех факторов записывают точно такую же матрицу (выделена жирной пунктирной линией), а значение  берут равным  для первых восьми строк и  берут  для остальных восьми строк.

В результате получаем матрицу полного факторного эксперимента для четырех факторов. Справа, как и в матрице двух переменных, формируется столбец  (или несколько столбцов, если ставятся параллельные опыты), слева формируется столбец фиктивной переменной  со значением .

3.1.3.1. Эффекты взаимодействия. Дробные реплики

Выше рассмотрено построение плана полного факторного эксперимента для получения линейного уравнения регрессии. Однако, в том случае, когда число факторов больше или равно двум, можно получить уравнение регрессии неполного высшего порядка, например:

.                                                       (3.12)

или

. (3.13)

Коэффициенты  отражают эффект взаимодействия. Матрица планирования в этом случае для уравнения (3.12) имеет вид:

Однако в случае только двух факторов имеется четыре опыта для определения четырех коэффициентов . В этом случае не остается ни одной степени свободы для проверки адекватности уравнения.

В случае, когда факторов три, можно построить следующий план:

№ опыта
1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1
2	+1	+1	-1	+1	-1	-1	+1	-1
3	+1	-1	-1	+1	+1	-1	-1	+1
4	+1	-1	+1	+1	-1	+1	-1	-1
5	+1	+1	+1	-1	+1	-1	-1	-1
6	+1	+1	-1	-1	-1	+1	-1	+1
7	+1	-1	-1	-1	+1	+1	+1	-1
8	+1	-1	+1	-1	-1	-1	+1	+1

В этом случае для определения неизвестных коэффициентов  имеется  опытов. Таким образом, для проверки адекватности нет степеней свободы. Поверхность (3.13) как бы натянута на все экспериментальные точки.

Из рассмотренного следует, что если заведомо известно предположение о линейности регрессионного уравнения, то планы полного факторного эксперимента завышены по числу опытов относительно определяемых коэффициентов. В самом деле, при  число опытов по плану полного факторного эксперимента равно восьми, а число определяемых коэффициентов для линейного уравнения равно четырем . Эта разница еще больше возрастает при увеличении числа факторов.

Недостаток плана полного факторного эксперимента можно устранить, рассматривая дробные реплики. В идее дробных реплик отражен тот факт, что эффектами взаимодействия высших порядков можно пренебречь. В случае четырех факторов в линейном уравнении регрессии только пять коэффициентов . Полный факторный эксперимент для четырех факторов состоит из 16 опытов.