Уравнение теплопроводности в неограниченной области

Уравнение теплопроводности в неограниченной области.

         (1)

Дадим определение классического решения

Определение. Классическим решением задачи (1) называется функция , определённая и непрерывная вместе со вторыми производными по  и первыми производными по  в области , удовлетворяющая уравнению (1) в этой области, непрерывная по  в области  и удовлетворяющая начальному условию.

Теорема. Задача (1) может иметь только одно классическое решение, ограниченное в .

Доказательство. Пусть  два классических ограниченных решения задачи

. Очевидно  есть решение задачи

И кроме того

Но воспользоваться принципом максимума в неограниченной области нельзя.

Чтобы воспользоваться принципом максимума, рассмотрим ограниченную по  область . Здесь  будем потом увеличивать.

Введём вспомогательную функцию

Эта функция удовлетворяет уравнению теплопроводности, кроме того

Применяем принцип сравнения к функциям  и