Модель парной линейной регрессии. Точечное и интегральное прогнозирование, страница 3

Решением этой системы являются оценки неизвестных параметров:

                                     N                                                    N                 N         N       

∑(x_i − x)( y_i − y) N∑ ∑ ∑x y_{i i} − x_i  ⋅ y_i   θˆ1 = i=1 ∑N 2 = i=1 N  i=1 N  i2=1  = xy2 −( )x y⋅ 2 , (13) 

                                                  (xi − x)           N∑ ∑xi2 − xi           x − x

                                            i=1                                                    i=1             i=1 

                                       θˆ = 1 ∑ ∑N yi − 1 N xiθˆ1 = y − xθˆ1.          (14) 

0

                                                                          N i=1            N i=1

Здесь следует особое внимание обратить на разницу между такими понятиями, как «неизвестные параметры θ₀ и θ₁» и «оценки неизвестных параметров θ^ˆ₀ и θ^ˆ₁». Оценки параметров по своей сути являются случайными величинами и зависят от исходных данных. Каждое значение, полученное по соотношениям (13) и (14), можно рассматривать как отдельную реализацию случайной величины. Истинные же значения параметров всегда остаются неизвестными. На практике мы имеем дело ТОЛЬКО с оценками, степень доверия к которым может быть различной.

3.4. Интерпретация параметров уравнения парной регрессии

Возможность четкой экономической интерпретации неизвестных параметров уравнения регрессии сделало модель парной регрессии достаточно распространенной в эконометрических исследованиях.

Величина параметра θ₁ показывает среднее изменение отклика с изменением регрессора на одну единицу.

Что касается параметра θ₀ , то формально можно сказать, что это значение y при x = 0. Однако часто этот параметр вообще может не иметь экономического содержания. Если регрессор по своему смыслу не имеет и не может иметь нулевого значения, то такая трактовка не имеет смысла. Попытки экономической интерпретации параметра θ₀ иногда могут приводить к абсурдным результатам (особенно при θ₀ < 0). 

Однако в любом случае можно проинтерпретировать знак параметра θ₀ . Так, если θ₀ < 0, то относительное изменение отклика оказывается меньше относительного изменения регрессора. И, наоборот, если θ₀ > 0, то относительное изменение отклика оказывается больше относительного изменения регрессора. Для доказательства этого утверждения достаточно

рассмотреть относительные изменения x и y . Пусть ^dy _< ^dx , тогда

                                                                                                                                         y       x

                                                        dy  y θ¹dx <θ θ⁰ + ¹x , θ θ θ₁x < ₀ + ₁x,

                                              <    ,

                                                        dx     x     dx           x

откуда θ₀ > 0. Для случая θ₀ < 0 доказательство проводится аналогично.

Рассмотрим пример. Пусть зависимость оборота фирмы от затрат на рекламу описывается уравнением yˆ_i =10 + 2.8x_i ( y – оборот (млн. руб.), x – затраты на рекламу (тыс. руб.)). Тогда значение оценки θ^ˆ₁ = 2.8 означает, что увеличение рекламных затрат на одну тысячу рублей влечет за собой увеличение оборота в среднем на 2.8 млн. руб. Значение оценки θ^ˆ₀ =10 может означать среднюю величину оборота при полном отсутствии рекламы. Положительный знак θ^ˆ₀ означает, что относительное изменение затрат на рекламу больше относительного изменения оборота. Действительно, пусть затраты на рекламу увеличились с 10 тыс. руб. до 11 тыс. руб., тогда относительное изменение затрат на рекламу есть 

                                                                                 dx    11 10−

                                                               =            = 0.1. 

                                                                                   x        10

Аналогичным образом можно вычислить относительное изменение оборота