Модель парной линейной регрессии. Точечное и интегральное прогнозирование, страница 11

Таблица 1 Таблица дисперсионного анализа

В эту таблицу включены все основные результаты расчетов, проводимых при проверке значимости регрессионной модели, а именно: TSS , RSS и ESS – элементы из разложения (35); F – статистика Фишера, вычисляемая по формуле (42); F_êð – критическое значение статистики Фишера для соответствующего уровня доверительной вероятности. Кроме этого, в таблице дисперсионного анализа часто присутствует ответ на вопрос: «Значимо ли уравнение регрессии?» (иногда последний столбец таблицы дисперсионного анализа может опускаться).

3.11. Прогнозирование в регрессионных моделях

Если после проверки уравнения регрессии на значимость было установлено, что оно является пригодным для практического использования, то оно может применяться для построения различных прогнозов. Следует отметить, что обычно термин «прогнозирование» используется в тех случаях, когда требуется предсказать состояние наблюдаемого объекта в будущем. Для регрессионных моделей он имеет более широкое значение. Здесь может возникнуть потребность оценить значение зависимой переменной для некоторого заданного, часто отсутствующего в исходных данных, значения независимой переменной. Именно в этом смысле – как построение оценки зависимой переменной – и следует понимать прогнозирование в эконометрике.

Обычно различают точечное и интервальное прогнозирование. В первом случае требуется вычислить конкретное число – ожидаемое значение зависимой переменной, во втором случае требуется указать интервал, в котором с известной доверительной вероятностью находится истинное значение зависимой переменной. Выделяют также безусловное и условное прогнозирование в зависимости от того, задано ли интересующее нас значение объясняющей переменной точно или с погрешностью.

Допустим, нам задано известное значение независимой переменной x_Ï и при таком значении требуется спрогнозировать значение зависимой переменной. Точечный прогноз может быть очень просто вычислен по уравнению регрессии путем подстановки x_Ï вместо независимой переменной:

                                                          yˆÏ =θ θˆ0 + ˆ1xÏ .

В силу того что вероятность попадания в любую точку равна нулю, фактическое значение зависимой переменной y_Ï при заданном значении x_Ï никогда в точности не совпадет с точечным прогнозом yˆ_Ï . Поэтому на практике точечный прогноз всегда следует дополнять расчетом стандартной

ошибки прогноза σ_yˆÏ и интервальным прогнозом.

Для заданного уровня доверительной вероятности (1−α) при известной стандартной ошибке σ_yˆÏ истинное значение зависимой переменной будет находиться в интервале

                                                 yˆ_Ï −t_êðσ_yˆÏ ≤ y_Ï ≤ yˆ_Ï + t_êðσ_yˆÏ ,                     (43) 

где t_{êð –} критическое значение, найденное по таблицам квантилей распределения Стьюдента.

Для оценки стандартной ошибки прогноза подставим оценку (14) в уравнение регрессии и получим

   yˆÏ = y −θ θˆ1x + ˆ1xÏ  или

                                                        y^ˆ_Ï = y +θ^ˆ₁(x_Ï − x).

Нетрудно заметить, что дисперсия прогноза может быть выражена следующим образом

                                                     σ σ σy2ˆÏ = y2 + θ2ˆ1 (xÏ − x)2.                 (44) 

Из математической статистики известно, что 

2 σ2         σ_y =  .

N

Заменяя неизвестное значение σ² на ее оценку S² , получим

2