Проблема методов обучения математике. Сравнение и аналогия, страница 5

СИЛЬНАЯ

          Неполная индукция – метод исследования (умозаключение), который основан на рассмотрении одного или нескольких (но не всех) частных случаев (суждений), относящихся к рассматриваемому понятию.

Вывод, оснований на неполной индукции, может быть ошибочным, поэтому неполная индукция в качестве метода исследования используется очень осторожно. Значение неполной индукции заключается в том, что рассмотрение частных случаев наводит на мысль о существовании некоторой закономерности, помогает высказать гипотезу о характере этой закономерности, доказательство же истинности высказанной гипотезы должно быть осуществлено другим путем (обычно дедуктивным).

В процессе обучения математике в методе неполной индукции реализуется принцип обучения «от простого к сложному». Учитель дает учащимся несколько характерных задач, которые бы подвели учащихся к требуемому выводу, к формулировке той или иной теоремы и к необходимости строгого доказательства этой теоремы. При этом чаще следует использовать сильную индукцию, т.е. индукцию, при которой вывод делается из рассмотрения не одного, а нескольких частных случаев.

Полной индукцией – называется умозаключение, основанное на рассмотрении всех частных суждений (случаев), относящихся к рассматриваемой ситуации.

Если число этих случаев конечно и все они рассмотрены, то вывод сделанный посредством полной индукции, можно считать достоверным.

(п)     Подсчитать число простых чисел в первом десятке.

Полная индукция доказательна и в том случае, если частных случаев бесконечное множество, но их удается разбить на конечное число групп.

(п₁)    Вопрос об измерении вписанного угла.

Все частные случаи разбиты на три группы: центр окружности лежит на стороне вписанного угла, в его внутренней и внешней областях.

                   В                                   В                                     В

А    

А                                     А              С

С                                                                   С

Доказав теорему для каждого случая, можно считать теорему доказанной в целом.

n₂       Доказать, что запись полного квадрата натурального числа не может оканчиваться цифрой 2. (всех случаев бесчисленное множество, разобьем их на конечное число классов).

Классы	I	II	III	IV	V	V	VI	VII	IX	X
Последняя цифра числа	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
Последняя цифра квадратного числа	1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Мы видим, то ни один квадрат не оканчивается цифрой 2.

Теорема доказана.

7. Дедукция, ее взаимосвязь с индукцией.

Дедукция – (лат. deductio – выведение) есть форма умозаключения, при которой от одного общего и одного частного суждения получают мнение общее или частное суждение.

А                                                                                                

№ 128 – 7 кл

Дано: АВС- прямоугольный

        N                     Д                                                   СД – биссектриса

ДМ // АС; ДN // СВ

Доказать: СNДМ - квадрат

         С                             В

М

Решение

1.  т.к. СN // ДМ и ДN // СМ, то СNДМ – параллелограмм.

2.  т.к. СМ = 90⁰, то СNДМ- прямоугольник (дедуктивное заключение)

3.  СМД – равнобедренный (М = 90⁰, ДСМ = 45⁰ = СДМ). Поэтому СNДМ – квадрат (дедуктивное заключение)

Сущность дедукции состоит в том, что данные частный случай подводит под общее положение.

 

В широком смысле слова дедукция – есть форма мышления,         состоящая в том, что новое суждение выводится число логическим путем, т.е. по определенным правилам логического вывода из некоторых известных суждений.

Впервые теория дедукции (логического вывода) была разработана Аристотелем. Эта теория развивалась совершенствовалась с развитием науки логики. Особое развитие теория дедукции получила в математике в виде теории доказательства.