Пример ( Задача № 175 – 7 кл.): Докажите, что середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.
В ходе анализа условия задачи и
решения сторона MN выступает в следующих качествах:
1) MN – средняя линия
2) MN =1/2BD
3) MN // BD
4) MN // PK
5) MN - сторона прямоугольника
Т.е анализ и синтез – это познание новых сторон, качеств, свойств изучаемых объектов путем включения этих объектов в систему связей и отношений, в которых эти новые свойства могут быть обнаружены.
Анализ и синтез являются важнейшими методами изучения математики. Сущность аналитического метода заключается в том, что из требуемого утверждения путем логических обоснованных шагов подходят к известной истине.
Сущность синтетического метода заключается в том, что из некоторых истинных утверждений путем логически обоснованных шагов получают требуемое утверждение. Для синтетического метода характерным является описание того, что и как делается, но не объясняется, почему берется в качестве исходного то или иное утверждение, то или иное истинное предложение. Поэтому доказательство, проведенное синтетическим методом, часто учащимся кажется искусственно придуманным.
Помимо трудностей, связанных с проведением соответствующих шагов доказательства при использовании синтетического метода, возникает дополнительная трудность – поиск исходного истинного утверждения. Напротив, используя аналитический метод, учащийся действует сознательно и убежденно (он знает с чего начать).
Доказать, что для а, в, с
N ав + вс + ас ≤ 3авс.
Аналитический метод.
Пользуемся определением m n , если m – n ≤ 0
ав + вс + ас – 3авс = ав – авс + вс – авс + ас – авс = ав (1 – с) + вс (1 – а) + ас (1 – в) ≤ 0.
Синтетический метод.
ав ≤ авс вс ≤ авс
ас ≤ авс
ав + вс + ас ≤ 3авс
Одним из характерных недостатков обучения геометрии является то, что в подавляющем большинстве случаев учитель сообщает готовое доказательство теоремы, изложенное в учебнике; а анализ и поиски доказательства не излагаются ни в одном учебнике геометрии, и потому, естественно, учитель обходит этот «каверзный» этап работы над теоремой.
Между тем здесь верно правило: лучше доказать одну теорему, потратив специально время на проведение анализа доказательства, чем обучить за то же время готовым синтетическим доказательствам двух различных теорем.
Доказательства теорем, приведенные в учебниках геометрии оказываются не всегда удобными с точки зрения проведения анализа. Правильно проведенный анализ позволяет найти более прозрачное доказательство, чем приведенное в учебнике.
Метод восходящего анализа.
Одной из форм доказательства утверждений аналитическим методом является так называемый метод восходящего анализа, сущность которого заключается в рассуждении «для того чтобы А было верно, достаточно, чтобы было верно В».
Доказать, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
1. Чтобы доказать, что АС ВД, дост. показать, что АО ВД.
2. Чтобы показать, что АО ВД, дост.
показать, что АО – высота 
АВД.
3. Чтобы показать, что АО - высота АВД, дост. показать, что АВД –
равнобедренный и АО – медиана.
4. Чтобы показать, что АВД
– равнобедренный, дост. показать, что АВ=АД.
5. АВ=АД по условию, АО – медиана, т.к.
ВО=ОД по свойству диагоналей параллелограмма.
Схема доказательства синтетическим методом.
1. Рассмотрим что АВД. (почему
именно этот тр-к)
2. АВД – равнобедренный, АВ=АД (ну и
что же?)
3. ВО=ОД – св-ва диаг. параллелограмма (ну и что же?)
4. АО – медиана ?
5. АО - высота АВД
?
6. АО ВД, т.е АС ВД (А как узнать с чего начать?)
реакция ученика.
Сравнивая эти методы доказательства теорем, нетрудно убедиться в преимуществах восходящего анализа:
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.