Сравнение как метод исследования в математике применяется не только для изучения свойств объектов, но и для установления самих этих свойств.
Сравнение параллелограмма и трапеции позволяет выявить их общие свойства (четырехугольники, имеют параллельные стороны) и различие: в одном – две пары параллельных сторон, в другом – одна). Сравнение обыкновенных арифметических и алгебраических дробей позволяет установить их сходство (наличие числителя и знаменателя; отсутствие значения, когда знаменатель равен нулю) и различие ( в одном случае числитель и знаменатель – числа, в другом – алгебраические выражения).
При введении понятия арифметической прогрессии учащимся предлагается среди различных последовательностей выбрать такие, которые обладают общими свойствами:
1. 1; 2; 3; 4; 5;..........
2. –1; 3; 2; -5; 4; -8;..........
3. –3; -1; 1, 3; 5; 7; 9;..........
4. 3; 8; 13; 18; 23; 28;..........
5. 3; 6; 8; 12; 16;..........
1, 3 и 4 обладают тем свойством, что каждый член их, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с числом, постоянным для этой последовательности.
Сравнение приводит к правильному выводу, если выполняются следующие условия: 1) сравниваемые понятия однородны и 2) сравнение осуществляется по существенным признакам.
Сравнение подготавливает почву для применения аналогии.
С помощью аналогии сходство предметов, выявленное в результате их сравнения, распространяется на новое свойство.
Рассуждение по аналогии имеет следующую схему:
А обладает свойствами а,в,с,д
В обладает свойствами а,в,с.
Вероятно В обладает и свойством д.
Заключение, полученное по аналогии, является лишь вероятным (правдоподобным), но не достоверным.
Поэтому аналогия не является доказательным рассуждением (за исключением изоморфизма).
4. АНАЛИЗ И СИНТЕЗ.
Особенно важную роль в математических исследованиях играют такие методы как анализ и синтез. Столь же велика их роль в обучении математике, где они применяются в самых разнообразных формах: как методы решения задач, методы доказательства теорем, методы изучения математических понятий и т.д.
Анализ и синтез практически неотделимы друг от друга и составляют единый аналитико-синтетический метод. Так, например, при помощи анализа сложная задача расчленяется на ряд простых задач, а затем посредством синтеза происходит соединение этих простых задач в единое целое.
Анализ – логический прием, метод исследования, состоящий в том, что изучаемый объект мысленно расчленяется на составные элементы (признаки, свойства, отношения), каждый из которых исследуется как часть расчлененного целого.
Синтез – логический прием, с помощью которого отдельные элементы соединяются в целое.
В математике, чаще всего, под анализом, понимают рассуждение в «обратном направлении», т.е. от следствия к причине, породившей это следствие, от того, что необходимо найти к известному, к тому, что уже найдено или дано; от того, что необходимо доказать, к тому, что уже доказано или принято за истинное.
В таком понимании анализ является средством поиска решения, доказательства, хотя в большинстве случаев сам по себе решением и доказательством еще не является.
Синтез, опираясь на данные, полученные в ходе анализа, дает решение задачи, доказательство теоремы.
Психологические исследования показали, что анализ выступает в разных формах, например:
а) анализ типа «фильтр»
в) анализ через синтез.
В основе анализа типа «фильтр» лежит метод проб.
Большую роль пробные действия играют при решении нестандартных задач.
Пример 1: Из шести спичек построить четыре треугольника.
Сначала ученик пытается построить треугольники в плоскости, перебирает все варианты, затем «внезапно» следует догадка о построении треугольников в пространстве (ответ: тетраэдр).
Пример 2: УДАР
+
УДАР
ДРАКА
Анализ через синтез.
Эта форма анализа заключается в следующем: объект в процессе мышления включается во все новые связи и в силу этого выступает во все новых качествах, которые фиксируются в новых понятиях. Из объекта, таким образом как бы вычерпывается все новое содержание.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.