Численное интегрирование. Постановка задачи численного интегрирования, страница 7

Отметим важное свойство методов Рунге-Кутта. Эти методы являются самостартующими. Самостартующий метод – это численный метод, в котором для начала вычислений не требуется дополнительных расчётов.

Для оценки погрешности методов Рунге-Кутта используют двойной пересчёт на ЭВМ. Сначала находится приближённое решение  на отрезке  с шагом h, а затем расчёт проводится на этом же отрезке в два этапа с шагом h/2, и получается приближенное решение . Величина

, где k – это порядок разностной задачи, является оценкой погрешности.

При реальных вычислениях используется, как правило, переменный шаг, что позволяет добиться требуемой точности с минимальным количеством узлов сетки. Двойной пересчёт на ЭВМ используется в этом случае как для контроля за погрешностью, так и для определения величины шага.

7.8. Метод Милна

Метод Милна – это один из методов прогноза и коррекции (предиктор-корректор, счёт-пересчёт). Приближённое решение  находится в два этапа. На первом шаге находится  (прогноз), которое можно рассматривать как достаточно грубое приближение, а на втором шаге  (прогноз) уточняется и находится  (коррекция). Обозначим   (прогноз) и  (коррекция).

Запишем формулы двух этапов метода Милна:

этап прогноза

, где для компактности записи использовано следующее обозначение .

этап коррекции

где  .

Порядок метода Милна – четвёртый.

Метод Милна не является самостартующим , для начала вычислений необходим начальный отрезок . Значение  известно из начального условия, а величины  находятся каким-либо самостартующим методом, имеющим тот же порядок, что метод Милна. Как правило, эти значения находят методом Рунге-Кутта четвёртого порядка.

Мы уже говорили о том, что если мы имеем два приближения к одному значению, то модуль разности этих приближений, делённый на некоторую константу, является оценкой погрешности приближения. Это правило распространяется и на метод Милна. Погрешность метода Милна  оценивается по формуле:

, где   (коррекция), а   (прогноз).

7.9. Примеры решения задач

Задача 1

Функция  задана таблично:

x	0	0.2	0.4	0.6	0.8	1.0
y	0	0.04	0.16	0.36	0.64	1.00

Вычислить значения первой производной функцииy в точках 0., 0.6, 1.0 с первым и со вторым порядком точности по h.

Решение

Для вычисления приближенных значений первой производной с первым порядком по h воспользуемся формулами численного дифференцирования, а именно, формулой дифференцирования вперёд и формулой дифференцирования назад:

Получаем:

,             ,

.

Отметим, что для вычисления  с первым порядком по h мы воспользовались формулой дифференцирования вперёд, но можно было воспользоваться формулой дифференцирования назад.

Для вычисления  во внутренней точке x = 0.6 со вторым порядком по h используется центральная разность:

, а для вычисления на концах отрезка со вторым порядкм по h применяются формулы:

,

.

Получаем:

,                   ,

Задача 2

Методом Эйлера с шагом h = 0.1 построить алгоритм для решения задачи Коши:

Решение

Запишем разностную задачу Коши:

Шаг h = 0.1;      значения ;   число .

Вектор  является приближённым решением задачи Коши.

Задача 3

Методом Рунге-Кутта второго порядка с шагом h = 0.1  построить алгоритм для решения задачи Коши:

Решение

Запишем разностную задачу Коши:

где ,  шаг h = 0.1, ,  .

Вектор  является приближённым решением задачи Коши.

Задача 4

Методом Рунге-Кутта четвёртого порядка с шагом h = 0.1 построить алгоритм для решения задачи Коши: