Численное интегрирование. Постановка задачи численного интегрирования, страница 6

где известно точное значение . Тогда локальная погрешность  равна:

, где  – решение разностной задачи в отсутствие ошибок округления, а  – значение точного решения дифференциальной задачи в точке .

Глобальная погрешность – это разность между вычисленным решением разностной задачи в отсутствии ошибок округления и точным решением. То есть, решается задача Коши:

Глобальная погрешность R равна:

, где  – вычисленное в отсутствие ошибок округления решение разностной задачи в точке ;    – точное решение задачи Коши в этой же точке.

Для частного случая, когда функция  не зависит от y, то есть , глобальная погрешность равна сумме локальных погрешностей.

В общем случае для устойчивых дифференциальных задач Коши глобальная погрешность будет меньше суммы локальных погрешностей, но для неустойчивых дифференциальных задач Коши глобальная погрешность больше суммы локальных погрешностей.

Общая погрешность – это сумма глобальной погрешности и погрешности вычислений на ЭВМ. Другими словами, общая погрешность – это разность между вычисленным и точным решениями с учетом ошибок округления на ЭВМ.

При оценке точности численного метода решения задачи Коши важной характеристикой является порядок метода. Разностная задача имеет порядок k по h, если для глобальной погрешности справедливо: . Для локальной погрешности в этом случае справедливо равенство . Условия для глобальной и локальной погрешности можно записать в эквивалентном виде:

,        , где c, c₁ – положительные константы, не зависящие от h.

7.7. Методы Рунге-Кутта

Известна целая группа методов Рунге-Кутта (в последнее время в отечественной литературе начинает появляться «русский» вариант произношения фамилий авторов метода, а именно метод Рунге-Кутты), среди которых чаще всего используется метод Рунге-Кутта четвёртого порядка.

Идея метода Рунге-Кутта состоит в том, чтобы разностную задачу Коши представить в виде:

где функция s приближала бы отрезок ряда Тейлора:

с точностью , но в то  же время не содержала бы производных функции . Здесь k – порядок разностной задачи.

Мы рассмотрим методы Рунге первого, второго и четвёртого порядков.

Метод Рунге-Кутта четвёртого порядка

Чаще всего на практике используется метод Рунге-Кутта четвёртого порядка.

Порядок метода – четвёртый. Локальная погрешность равна: , глобальная погрешность . Разностная задача является условно устойчивой. Для модельной дифференциальной задачи Коши:

условие устойчивости разностной задачи .

Метод Рунге-Кутта четвёртого порядка легко распространяется на системы дифференциальных уравнений первого порядка.