Итерационные методы решения систем нелинейных уравнений, страница 3

Заметим, что это гарантирует сходимость метода итераций, но сходимость будет медленной. Метод итераций быстро сходится, если .

Для улучшения сходимости можно еще уменьшить D или выбрать  и  другим способом.

2. Выбираем точку начального приближения из D:    .

Так как , то последовательность  сходится к точному решению.

3. Строим итерационный процесс:

4. Условие остановки итерационного процесса: .

Вектор , удовлетворяющий этому условию, является приближенным решением, полученным методом итераций, с точностью e.

Недостатки метода итераций

1. Нет общего приема для перехода от системы F(x) = 0 к системе x = F(x).

2. Метод медленно сходится для M таких, что .

Устойчивость метода итерации. Если , то метод итераций является устойчивым относительно вычислительной погрешности.

Пример 2

Известно, что решение системы нелинейных уравнений:

  (где  измеряются в радианах)

принадлежит области . Построить и обосновать алгоритм решения системы нелинейных уравнений методом итераций с точностью e.

Решение

Область D – куб,  следовательно, D – выпуклая область, содержащая одно решение системы нелинейных уравнений. Система уже приведена к виду, удобному для итераций:

Функции  являются непрерывно дифференцируемыми в области D. Найдем элементы матрицы М и вычислим  :

,                    ,       ,

,                  ,       ,

,                 ,       ;

,                     ,           ,

,                     ,           ,

,                   ,           ;

,         .

, следовательно, метод итераций сходится для любого начального приближения .

2. Начальное приближение: .

3. Формулы метода:

,

,

.

Так как , то последовательность , где , сходится к точному решению системы нелинейных уравнений.

4. Условие остановки итерационного процесса:

,   .

Вектор , удовлетворяющий условию остановки итерационного процесса, считается приближенным решением системы нелинейных уравнений, полученным методом итераций с точностью e.

4.5. Примеры решения задач

Задача 1

Построить и обосновать алгоритм решения системы нелинейных уравнений методом  Ньютона с точностью e.

Решение

Графическое отделение решения

Запишем в удобном виде:   , , построим графики (рис. 4.2) и найдем точки пересечения.

Область, содержащая одно решение:       D = { 1 £ x £ 1.6;    – 1 £ y £ 0 }. D – прямоугольник, следовательно, выпуклая область.

Алгоритм метода Ньютона

Выпуклая область D содержит одно решение системы:

    

1. Функции f₁,  f₂ являются дважды непрерывно дифференцируемыми в области D. Запишем матрицу Якоби:

Вычислим определитель матрицы Якоби: .

Якобиан не равен нулю, так как sin y cos (x + 1) ¹ – 2 для всех x, y из области D:

sin y | £ 1,          | cos (x + 1) | £ 1.

Для уточнения решения в области D можно использовать метод Ньютона.

2. Формула метода:

,                 ;

,                .

Получили систему линейных уравнений с невырожденной матрицей. Для каждого k необходимо решать систему линейных уравнений. Для этого используется метод  Гаусса с частичным выбором ведущего элемента.

3. Точка начального приближения:   x⁽⁰⁾ = (1, 0).

4. Условие остановки итерационного процесса:   .

Вектор , для которого выполняется условие остановки итерационного процесса, является приближенным решением, полученным методом Ньютона.

Задача 2

Построить и обосновать алгоритм решения системы нелинейных уравнений методом итераций с точностью e:

Решение

В задаче 1 мы уже отделили выпуклую область: D = { 1 £ x £ 1.6;    – 1 £ y £ 0 }, содержащую одно решение системы.

1. По системе  построим эквивалентную систему :

                              

Функции  являются непрерывно дифференцируемыми в области D.

Построим матрицу М:

,            ,       ,       ;