Математика \ Вычислительная математика

Итерационные методы решения систем нелинейных уравнений, страница 2

Мы получили систему линейных уравнений. Эта система линейных уравнений решается методом Гаусса с частичным выбором ведущего элемента.

3. Выбираем точку начального приближения: .

4. Условие остановки итерационного процесса:

Для первой нормы вектора условие остановки итерационного процесса запишется в виде:

Вектор , для которого выполняется условие остановки итерационного процесса, является приближенным решением, полученным методом Ньютона.

Недостатки метода Ньютона

1. Для применения метода Ньютона необходимо близкое к точному решению начальное приближение. Если начальное приближение задано грубо, то метод может разойтись или привести к другому решению.

2. На каждом шаге k итерационного процесса необходимо решать систему линейных уравнений или находить обратную матрицу, а это требует O() арифметических действий для каждого k.

4.4. Метод итераций

Пусть известна выпуклая область D, содержащая одно решение системы нелинейных уравнений

или в векторном виде: , ,

Запишем эту систему в виде:

или в векторном виде: , где , .

Системы и эквивалентны.

Пусть функции являются непрерывно дифференцируемыми в области D. Запишем формулы метода итераций:

где – номер итерации.

Таким образом, строим последовательность векторов , начиная с некоторого вектора приближения . Естественно, возникают следующие вопросы: при каких условиях последовательность сходится к вектору точного решения с и как выбирается вектор начального приближения ?

Теорема (о сходимости)

Если функции являются непрерывно дифференцируемыми в выпуклой области D, содержащей одно решение системы , то для сходимости метода итераций достаточно, чтобы хотя бы одна из норм матрицы M была меньше 1, где элементы матрицы находятся по формуле:

В качестве начального приближения в этом случае можно взять любую точку из области D.

Оценка погрешности. При выполнении условий теоремы о сходимости справедливо следующее неравенство: .

Следовательно, условие остановки итерационного процесса записывается следующим образом:

Вектор , для которого выполняется условие остановки итерационного процесса, является приближенным решением, полученным методом итераций с точностью .

Алгоритм метода итераций

1. Находим выпуклую область D, содержащую одно решение системы нелинейных уравнений . Записываем систему нелинейных уравнений в виде , причем эти две системы должны быть эквивалентны:

Кроме этого, должны быть непрерывно дифференцируемыми в D и хотя бы одна из норм матрицы M должна быть меньше единицы, где элементы матрицы M находятся по формуле: .

2. Выбираем начальное приближение: – произвольную точку из D.

3. Строим итерационный процесс:

Последовательность сходится к точному решению c, так как .

4. Условие остановки итерационного процесса: .

Вектор , для которого выполняется условие остановки итерационного процесса, является приближенным решением, полученным методом итераций с точностью e.

Таким образом, .