Расчет переходных процессов в электрических цепях (E=100 В, L=0,5 Гн, R1=600 Ом, R2=1000 Ом, ключ замыкается), страница 7

Полученная система является системой уравнений в форме Коши.

Из системы (5.2.1) запишем матрицу коэффициентов, стоящих перед , :

                                                          (127)

Из системы (5.2.1) запишем  вектор коэффициентов, стоящих перед входными воздействиями, т. е при Е:                                

                                                                                                     (128)                                                                                              

Из (5.2.1) получим матрицу-столбец входных воздействий, порядка m=1:

                                                                                                             (129)

ННУ (50) и (51) объединим в систему, при этом учтем нашу предыдущую замену :

                                                                          

(5.2.2)

                                                                         

По системе (5.2.2) запишем матрицу-столбец начальных условий:

                                                                                                             (130)

С учетом  (129), (127) и (128) приведем систему (5.2.1) к виду:

                                                                                                     (131)

Где:    – матрица искомых величин (переменных состояния),

 – ее дифференциал.

Объединим (131) и () в матричную систему уравнений по переменным состояния:

 

(5.2.3)

5.3. Нахождение переменных состояния.

5.3.1. Определение собственных значений .

Решение системы (5.3.3) представляется в виде:

                                                                          (132)

Первое слагаемое в формуле (132) вектор свободного состояния цепи, компонентами которого являются токи на индуктивностях и напряжения на емкостях, которые имеют место во время переходного процесса только под влиянием начального запаса энергии, т.е. в отсутствии внешних возмущений. Второе слагаемое – это вектор принужденного состояния цепи, компонентами которого являются токи на индуктивностях и напряжения на емкостях, которые имеют место во время переходного процесса под влиянием внешних воздействий.

Матричную функцию  в формуле (132) вычисляют по формуле Сильвестра:

Где ,–  собственные значения (характеристические числа) квадратной матрицы , т.е. это корни уравнения: рвторое - принужденные цессы в системепеременным состяния:

                                                         (133)

                                                 (134)

Преобразовав (134), получим характеристическое уравнение:

, которое имеет корни:

5.3.2. Применение метода Рунге-Кутта для числительных расчетов.

 – квадратная матрица собственных коэффициентов системы (см.(127));

  – вектор независимых переменных, элементы которого определяются входными воздействиями.

  – вектор начальных условий (см.(130));

Здесь:  - начальный момент переходного процесса,   - конечный момент переходного процесса,  - число шагов для численных расчетов.

Решение Z представляет собой матрицу размера . Первый столбец  содержит моменты времени, столбец  - значения тока , - значения функции , соответствующие этим моментам.

График зависимости напряжения .

График зависимости тока .

6. Построение графиков токов и напряжений.

Графики изменения токов i₁(t), i₂(t) и i₃(t) приведены на рис.

Рис.4. Графики изменения токов

Графики изменения напряжений  приведены на рис.

Рис.5. Графики изменения напряжений.

6.1. Проверка графиков по законам Кирхгофа.

Вычисления выполнены в программе MathCAD:

7. Заключение.

В ходе выполнения работы расчеты производились 2 методами: классическим и операторным, (кроме того, дополнительно были найдены характеристические уравнения методами переменных состояния и D-алгебраизации), которые дали одинаковые результаты:

8. Список использованной литературы.

1.  Методические указания к домашним заданиям по расчету электрических цепей, под редакцией А.П.Лысенко.- Л.: ЛМИ, 1984.

2. 

Теоретические основы электротехники. Электрические цепи. Л.А. Бессонов, Москва, 2001.