Расчет переходных процессов в электрических цепях (E=100 В, L=0,5 Гн, R1=600 Ом, R2=1000 Ом, ключ замыкается), страница 2

Перерисуем схему на рис.1 в момент коммутации – рис.2.

Рис.2

Исходная система уравнений (1.1) для момента времени после коммутации содержит 3 уравнения, записанные по законам Кирхгофа, и одно уравнение связи:

                                                                                           (2)   

                                                        (3)            (1.1)

                                                                                     (4)

                                                                                              (5)

2.2. Нахождение дифференциального уравнения относительно величины i_L(t).

Степень дифференциального и характеристического уравнений (12)-(13) относительно тока i_L(t) равна числу основных ННУ в схеме, т.е. порядок равен двум (катушка индуктивности и емкость).

Тогда систему уравнений (1.1) сведем к одному дифференциальному уравнению второго порядка относительно тока i_L(t).

Выразим  через  , воспользовавшись (3) и (4):

                        (6)

Продифференцируем (6) но t:

                                            (7)

Выразим   из (4), подставим в (2) и найдем :

                                          (8)

Подставим (8),(7) и (6) в (5):

                     (9)                

                                (10)

                          (11)

 

                          (12)

2.2.1. Запись характеристического уравнения по  дифференциальному уравнению.

Физический смысл свободной составляющей – описание поведения системы при отсутствии внешнего воздействия. Уравнение (12) – линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка, общий интеграл которого есть сумма частного решения  неоднородного уравнения, полученного в форме правой части для неоднородного уравнения (принужденная составляющая силы тока) плюс общее решение однородного уравнения (свободная составляющая силы тока). Для получения однородного дифференциального уравнения необходимо в (12) свободный член , т.е.

Теперь заменим соответственно  на  и получим характеристическое уравнение:

 

                           (13)

2.3. Составление характеристического уравнения по  входному сопротивлению цепи Zвх.

Наиболее простой способ составления характеристического уравнения цепи состоит в следующем:

2.3.1. Записывают формулу входного сопротивления цепи в комплексной форме

В цепи на рис.2 сопротивления  и  включены параллельно:

                                                      (14)

С учетом (14) полное сопротивление цепи принимает вид:

                                           (15)

2.3.2. В формуле (14) произведем замену сомножителя  на :

                             (16)

2.3.3. Полученное выражение приравняют нулю :

Приравняв (16) нулю, получаем:

                                              (17)

Преобразуем (17):

                                                                      (18)

                                 (19)                                           

                                       (20)

2.4. Составление характеристического уравнения  методом D-алгебраизации.

                                                                                        (21)

                                                                                       (22)

Исходная система уравнений, составленная по законам Кирхгофа c  учетом , имеет следующий вид:

                                                            (23)

Преобразуем систему с помощью (21) и (22):

`                                                                            (24)

                                                                     (25)

                                                                          (26)

Выразим  из (24) и подставим в (25):

                                                   (27)

                                                     (28)

                                                                  (29)           

                                                                    (30)

Неизвестный ток  можно найти по формуле Крамера:

Где: