Расчет переходных процессов в электрических цепях (E=100 В, L=0,5 Гн, R1=600 Ом, R2=1000 Ом, ключ замыкается), страница 3

¾  определитель системы,

¾  определитель, полученный из определителя   путем замены первого столбца коэффициентов столбцом из свободных членов.

Подставим определители  и  в формулу Крамера: 

                                (33)

                                     (34)

                             (35)

                                       (36)

Выполнив обратную замену  и , получим линейное дифференциальное уравнение:

                          (37)

Приравняв правую часть уравнения (36) нулю, получим характеристическое уравнение, аналогичное (13):

                                               (38)                                       

2.5. Определение корней характеристического уравнения.

Найдем корни характеристического уравнения, полученного ранее различными способами

Для облегчения расчетов сделаем замену и перепишем характеристическое уравнение следующим образом::

                                  (39)

Где:

¾  коэффициент затухания колебаний в контуре;

Откуда:

¾  угловая частота незатухающих колебаний;

Проверим размерность  и , для этого в формулах заменим элементы их размерностями. При этом учтем, что:

 

Из (39) следует, что корни характеристического уравнения имеют размерность  и рассчитываются по формуле:

                                                                                              (40)

Так как , корни вещественные отрицательные:

                                                                       (41)

2.6. Запись решения свободной составляющей

Выражение свободной составляющей силы тока определяется видом корней характеристического уравнения (13). Так как корни  и  вещественные, выражение свободной силы тока имеет вид:

                                                        (42)

Уравнение (42) физически определяет поведение цепи при отсутствии внешних источников электрической энергии.

2.7. Расчет принужденных составляющих.

Установившийся режим работы цепи обусловлен действием источников энергии, поэтому принужденная составляющая  в случае постоянного напряжения  может быть найдена методами расчета установившегося процесса в цепи после коммутации. В схеме, изображенной на рис. 2 закоротим индуктивность ( – при постоянном токе напряжение на катушке не изменяется) и разорвем ветвь с емкостью – нарисована пунктирной линией ( – при постоянном напряжении ток в ветви с конденсатором равен нулю ), таким образом, в цепи на рис.3 все установившиеся токи и напряжения не будут зависеть от времени.

Рис.3.

По второму закону Кирхгофа (рис.3) после коммутации:

                         (43)

Тот же результат получаем, если в уравнении (12) учесть, что производная от константы равна нулю:

Теперь найдем принужденные составляющие остальных токов  и напряжений:                                               

                                                        (44)

                                                                                                            (45)

                                                       (46)             

                                                (47)                                                                                                    

                                                                                                                              (48)

                                                                                        (49)

2.8. Определение начальных условий.

А) Независимые начальные условия.

Независимые начальные условия определяются количеством реактивных накопителей энергии в схеме. Состояние каждого накопителя может быть охарактеризовано либо текущим через него током, либо падением напряжения на нем. Независимыми переменными являются: для емкости – напряжение на ней , для индуктивности – ток через нее .

Определим независимые начальные условия. Для этого найдем ток в индуктивности и напряжение на емкости до коммутации. Так как до коммутации ключ в ветви с источником ЭДС был разомкнут, то:

Согласно первому закону коммутации ток через индуктивность непосредственно до коммутации  равен току через ту же индуктивность после коммутации .