Расчет тонкостенных конструкций оболочечного типа. Часть 1: Методические указания (Основы теории тонкостенных оболочек вращения. Расчет оболочек вращения по безмоментной теории), страница 3

В зависимости от формы срединной поверхности различают оболочки цилиндрические, конические, сферические и. т.д.

3. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТОНКОСТЕННЫХ ОБОЛОЧЕК  ВРАЩЕНИЯ.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Нагрузка, воздействующая на оболочку, симметрична относительно оси вращения. Рассматриваются следующие типы нагрузки (рис.3):

·  равномерно распределенная по окружности моментная нагрузка m,  Н*мм/мм;

·  равномерно распределенная по окружности радиальная нагрузка Р,    Н/мм;

·  распределенная по площади нагрузка q, Н/мм², нормальная к поверхности оболочки.

Рис.3. Схема нагружения оболочки

Вследствие малости толщины оболочки, нагрузка считается приложенной к ее срединной поверхности.

Теория тонких оболочек строится на следующих основных рабочих гипотезах, позволяющих получить достаточно простое решение задачи, (гипотезы Кирхгофа-Лява).

1. Прямолинейные волокна оболочки, перпендикулярные к ее срединной поверхности до деформации, остаются после деформации изгиба также прямолинейными и перпендикулярными к изогнутой срединной поверхности, сохраняя при этом свою длину (гипотеза прямых нормалей).

2. Нормальными напряжениями в направлении, поперечном к срединной поверхности, допустимо пренебрегать, так как она весьма малы в случае распределенной по площади нагрузки или носят узколокальный характер - создается узкая область контактных напряжений, не влияющих на изгиб оболочки в целом в случае сосредоточенной нагрузки .

Помимо указанных гипотез и требования тонкостенности, предполагается, что материал оболочки однородный, изотропный, упругий и подчиняется закону Гука, Перемещения оболочки считаются малыми. Величина перемещений соизмерима с толщиной оболочки.

4. ВНУТРЕННИЕ УСИЛИЯ И НАПРЯЖЕНИЯ В ОБОЛОЧКЕ

Двумя меридиональными сечениями ab и cd и двумя сечениями ad и bc, нормальными к меридиану, выделим из оболочки элемент abcd,  как показано на рис.4.

Рис.4. Напряжения в оболочке

На гранях элемента возникают  меридиональные нормальные напряжения s_s и кольцевые нормальные напряжения s_t.  Кроме того, в нормальных сечениях аd и bс развиваются также касательные напряжения t.  Нормальные напряжения s_s и s_t складываются из напряжения растяжения, равномерно распределенных по толщине оболочки, и напряжений изгиба, распределенных но толщине оболочки по линейному закону и обращающихся в нуль в точках срединной поверхности (рис.5).

Рис.5. Распределение напряжений по толщине оболочки

При линейном распределении напряжений по толщине оболочки расчет удобно вести по статическим эквивалентам внутренних сил. Статическими эквивалентами нормальных сил, приходящихся на единицу длины нормальных сечений, являются:

·  нормальное меридиональное усилие N_s, Н/мм;

·  нормальное кольцевое усилие N_t , Н/мм;

·  меридиональный изгибающий момент М_s ,Н*мм/мм;

·  кольцевой изгибающий момент М_t,  Н*мм/мм.

Нормальные напряжения связаны о усилиями и моментами следующими соотношениями:

 ;                 

;                                                        (2)

;    

где y - расстояние от рассматриваемой точки до срединной поверхности оболочки.

Статическими эквивалентами касательных сил, действующих в сечениях ad и bc и приходящихся на единицу их длины, являются поперечные усилия Q. Эти усилия учитываются в уравнениях равновесия элемента оболочки. Но сдвиговые деформации, связанные с существованием касательных напряжений, не учитываются, и, таким образом, поперечные усилия Q рассматриваются только как статический фактор. Учет сдвиговых деформаций привел бы к противоречию с первой гипотезой Кирхгофа.

Полная система внутренних усилий, возникающих в оболочке при осесимметричном нагружении, представлена на рис.6.

Рис.6. Внутренние усилия в оболочке