Информатика и выч. техника \ Методы и алгоритмы расчетов на прочность в САПР

Расчет на прочность вращающихся дисков машин: Курс лекций, страница 8

Используя граничные условия (1.22) и (1.23), получаем с учетом соотношений (3.9) систему линейных алгебраических уравнений относительно и :

(3.10)

где .

Решая систему (3.10), находим постоянные интегрирования.

Для сокращения объема вычислений при численном решении рассматриваемой краевой задачи целесообразно так назначить начальные векторы , , , чтобы одна из постоянных интегрирования заведомо обращалась в нуль.

Систему (3.10) можно представить в следующем виде:

(3.11)

Для того, чтобы при любых значениях достаточно выполнения следующих соотношений:

(3.12)

Выражение не может одновременно обратиться в нуль ввиду линейной независимости векторов , .

Соотношения (3.12) будут выполнены, если при принять

, , , , т.е.

, .

(3.13)

Если , то необходимо, чтобы . В противном случае из соотношения (1.22) следует, что одновременно и , а это означает, что граничное условие на внутреннем контуре диска обращается в тождество и решение задачи становится неопределенным.

В случае, когда и , для выполнения соотношений (3.12) можно принять , ; , , т.е.

, .

(3.14)

При указанном выборе начальных векторов и равенство выполняется при любых значениях исходных данных, и для решения рассматриваемой краевой задачи достаточно выполнить численное решение только двух задач Коши:

- для системы однородных уравнений (3.4) при начальном векторе ;

- для системы неоднородных уравнений (3.1) при начальном векторе .

Постоянную интегрирования в этом случае определяем по формуле

(3.15)

Вектор решения краевой задачи находим затем по формуле (3.5), учитывая, что :

(3.16)

Изложенный метод можно применить также для расчета дисков без центрального отверстия.

По условиям симметрии радиальное перемещение центра сплошного диска , т.е. коэффициенты , , в условии (1.22) принимают значения: , .

При расчете сплошного диска формируем начальные векторы по формулам (3.13):

и выполняем численное решение задач Коши для системы однородных уравнений (3.4) и системы неоднородных уравнений (3.1) при начальных условиях и соответственно.

При численном интегрировании матрицу коэффициентов и вектор в точке формируем в соответствии с уравнениями (1.39):

(3.17)

В точках элементы матрицы и вектора вычисляем в соответствии с выражениями (3.2) и (3.3).

Постоянную интегрирования и решение краевой задачи для сплошного диска находим по формулам (3.15) и (3.16), как и для диска с центральным отверстием.

Алгоритм численного решения краевой задачи для диска можно представить в более компактной форме. Введем в рассмотрение матрицы:

(3.18)

(3.19)

, .

(3.20)

Столбцами матрицы служат векторы и частных решений задач Коши для систем (3.4) и (3.1). Матрица состоит из векторов начальных условий и . Столбцами матрицы являются нулевой вектор и вектор , учитывающий массовые силы инерции и температурную деформацию диска в соответствии с выражениями (3.3) и (3.17).

Решение краевой задачи для диска сводится к решению задачи Коши для дифференциального уравнения

(3.21)

при начальном условии . В уравнении (3.21) - матрица, элементы которой определяются выражениями (3.2) и (3.17). Численное интегрирование уравнения (3.21) выполняем методом Рунге-Кутта: