Информатика и выч. техника \ Методы и алгоритмы расчетов на прочность в САПР

Расчет на прочность вращающихся дисков машин: Курс лекций, страница 7

На рис.2.2 приведены графики напряжений в диске, построенные по результатам расчета.

Анализ результатов расчета показывает, что наибольшее эквивалентное напряжение имеет место у внутренней поверхности диска. По теории наибольших касательных напряжений эквивалентное напряжение в точках внутреннего контура диска достигает значения

МПа.

Рис.2.2. Графики напряжений во вращающемся диске

с центральным отверстием при

3. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О РАСЧЕТЕ

ВРАШАЮЩИХСЯ НЕРАВНОМЕРНО НАГРЕТЫХ ДИСКОВ

ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ

В разд. 1 было установлено, что задача о расчете вращающегося неравномерно нагретого диска переменной толщины с центральным отверстием сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений (1.12) с переменными коэффициентами в интервале при заданных граничных условиях (1.22) и (1.23). Эта, так называемая, краевая задача (граничные условия сформулированы в точках и интервала интегрирования) в общем случае может быть решена численным методом с применением ЭВМ.

Расчеты с применением ЭВМ имеют ряд характерных особенностей. В частности, при реализации численных методов расчета на ЭВМ весьма эффективным оказывается использование матричной формы записи машинных алгоритмов. Применение матричной символики позволяет не только компактно записать уравнения и алгоритм решения задачи, но и облегчить процесс программирования, так как ЭВМ, как правило, снабжены стандартными программами для матричных операций.

Из величия и составим вектор , который будем называть вектором состояния, и запишем систему уравнений (1.12) в матричной форме:

(3.1)

где

- матрица переменных коэффициентов;

(3.2)

- вектор, учитывающий массовые силы инерции и температурную деформации.

(3.3)

Наиболее распространенным методом численного решения линейной краевой задачи является метод начальных параметров, позволяющий свести решение краевой задачи к решению последовательности задач Коши. Напомним, что в задаче Коши (начальной задаче) требуется найти частное решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее начальным условиям.

Общее решение системы неоднородных линейных дифференциальных уравнений (3.1) можно представить в виде суммы какого-либо частного решения этой системы и линейной комбинации двух линейно-независимых решений , системы однородных дифференциальных уравнений

(3.4)

Таким образом, можно записать

(3.5)

где , , - постоянные интегрирования.

Вектор можно найти, решая задачу Коши для системы (3.1) при произвольных начальных условиях .

Численное решение задачи Коши выполняем методом Рунге-Кутта. Делим интервал на заданное число частей с шагом (рис.3.1). Согласно методу Рунге-Кутта, который относится к числу шаговых методов, вектор состояния в каждой последующей точке находим по формуле

; ,

(3.6)

, , , - векторы, определяемые по формулам:

Таким образом, задавая начальный вектор , находим затем последовательно векторы , , … , по формуле (3.6).

Рис.3.1. Схема деления диска на участки

Векторы , можно найти, решив две задачи Коши для системы однородных уравнений (3.4), задавая начальные условия:

При выборе начальных векторов , следует обеспечить их линейную независимость.

Численное решение задач Коши для системы (3.4) находим методом Рунге-Кутта, вычисляя последовательно векторы состояния в точках ,

, … , по формулам:

; ,

; , где - векторы, определяемые по формулам:

Постоянные интегрирования и определяем из граничных условий (1.22) в (1.23), принимая во внимание, что соотношение (3.5) выполняется для всех точек интервала , в том числе, и для точек и , т.е.