Случайные функции и случайные процессы

          1. Основные понятия  

1.1.  Случайные функции и случайные процессы

C общей точки зрения случайный процесс (СП) – это  любой процесс, протекающий во времени и управляемый вероятностными законами. Так, число заявок, поступающих в единицу времени на АТС , есть  величина случайная, но зависящая еще и от времени.

Пусть некоторое вероятностное пространство. Случайным  процессом

называется семейство случайных величин (с. величин), зависящих от параметра  t, значения которого пробегают некоторое множество T.  При этом параметр t интерпретируется как время. Значения с. величины Х(t), tТ, принадлежат измеримому пространству ,   

n1,  B-  σ- алгебра борелевских множеств из .

Следовательно, СП- это функция времени, значение которой есть с. величина. Если t    интерпретировать не как время, то СП называют  случайной функцией (СФ).

Как видно из определения СП при каждом фиксированном  tТ    Х(t) – с. величина, которую везде далее будем обозначать как  и называть  сечением  СП.  Итак, при фиксированном  tТ  :→.  Множество значений, которые может принимать с. величина , tТ, называется пространством состояний СП, обозначать это множество будем буквой Χ.

При фиксированном элементарном исходе  СП  представляет собой неслучайную функцию аргумента . Она называется реализацией СП или его траекторией. Множество всех реализаций СП называется фазовым пространством СП.

Реализации СП  будем обозначать соответствующими малыми буквами: .

         Замечание.  В зависимости от характера исследований целесообразно пользоваться различными обозначениями СП. Если существенно то, что при фиксированных

случайные процессы являются случайными величинами, то СП удобно обозначать как  

,   и т. д. Если же наоборот, существенно то, что реализации случайных процессов являются неслучайными функциями аргумента  , то удобным будет  обозначение ,  , ... Для нас в большинстве случаев предпочтительнее будет обозначение  .

         1.2. Конечномерные распределения случайного процесса

В теории случайных процессов наиболее распространенными характеристиками

СП являются функции распределения и связанные с ними плотности распределения.  

Зафиксируем некоторое значение параметра , получим с. величину . Функция   распределения этой с. величины носит название одномерной функции распределенияСП X(t), .

Если зафиксировать два различных момента времени ,, то совместная функция распределения  с. величин Х,  F(x,;x,)=P{< x,< x} называется двумерной функцией распределенияСП  X(t), .

Если зафиксировать произвольное количество значений , то совместная функция распределения  случайных величин   - =

= P{< x,…,X< x} называется N-мерной функцией распределения СП  X(t), .

Наряду с функциями   распределения случайных процессов  используются плотности распределения или характеристические функции. Определение их для случайных процессов вводится аналогично определению функции распределения.

Основные признаки, по которым  различаются СП,  касаются природы  пространства состояний Х, временного параметра tТ и отношений зависимости между с. величинами

Х.

Если Х={0,1,…}, то СП относят к классу  целочисленных  процессов или  их называют  дискретными случайными процессами, поскольку любое сечение Х есть дискретная с. величина. Если Х=R, то СП называют действительным СП. Если Х=, то СП является  n-мерным СП.  Множество Х может совпадать и с комплексной плоскостью С, но такие процессы мы рассматривать не будем.

Если Т={0,1,…},то говорят , что СП  X(t), , - СП с дискретным временем. Чаще всего в этом случае его обозначают  в виде Х и называют случайной последовательностью.

Если Т=, то  СП  X(t), , называют  процессом с непрерывным временем.

Характер зависимости  между с. величинами Х,, определяется заданием совместных распределений для каждого конечного  набора с. величин  .

Из теории вероятностей известно, что совместное распределение любого конечного числа случайных величин однозначно определяет совместные распределения всех подмножеств этих величин. Так, зная плотность распределения N с. величин , можно найти все плотности распределений меньших размерностей по формуле:

, .

Обратное утверждение в общем случае неверно. Однако существуют случайные функции, для которых какое-нибудь из многомерных  распределений определяет всю последовательность распределений бόльших размерностей. Так, например, для случайной функции X(t) с независимыми значениями, случайные величины   независимы при любых  и любого натурального N. Поэтому все многомерные распределения СП с независимыми значениями вполне определяются ее одномерными распределениями:

.

Другим примером случайных функций такого типа являются марковские СП. О них  речь пойдет ниже.

СП  X(t), , будем считать полностью заданным , если определены его пространство состояний Х, множество параметров Т и его конечномерные распределения ( в виде функций распределения или плотностей распределения или с помощью  каких- либо других характеристик с. величин).