Случайные функции и случайные процессы, страница 3

Пусть теперь n=1. При этом значении n получаем линейное неоднородное уравнение с начальными условиями: .

Общее решение соответствующего однородного уравнения есть . Частное решение неоднородного уравнения, найденного методом вариации постоянной, имеет вид: .

Тогда общее решение уравнения получаем в виде: . Начальные условия дают для С значение 0, С=0.

Окончательно имеем: .Тем самым, вероятность того, что в интервале времени (0, t) произойдет ровно одно событие, найдена.

Рассуждая аналогично, для , можно получить следующие результаты: , .

Случайный процесс N(t), t≥0, называется пуассоновским. Параметр трактуется как среднее число единичных приращений в единицу времени.

Ковариационная функция СП Х(t) является вторым смешанным центральным моментом с. величин и . Иногда вместо нее рассматривают второй смешанный начальный момент . Эту функцию называют корреляционной функцией СП Х(t). Из теории вероятностей известно соотношение между этими функциями:

=- или =+ (2)

Определение 3. Взаимной ковариационной функцией K_XY(t₁, t₂) случайных функций X(t) и Y(t), определенных на одном и том же вероятностном пространстве и на одном и том же множестве Т, называется ковариация их сечений , рассматриваемая как функция аргументов : , , .

Если для любых , то случайные процессы X(t), Y(t) называются некоррелированными. Если хотя бы для одной пары , то X(t), Y(t) называются коррелированными случайными функциями.

Аналогичным образом определяется взаимная корреляционная функция процессов

1.4. Белый шум

Большое значение для приложений имеет особый вид случайных функций, у которых ковариационная функция содержит множителем δ-функцию.

Определение 4. СП X(t), , с нулевым м.о. и ковариационной функцией называется белым шумом. Множитель называется интенсивностью белого шума.

Очевидно, что дисперсия D_x(t) белого шума бесконечна , а его значения в двух сколь угодно близких точках не коррелированны.

В чистом виде белый шум не может существовать физически, для его реализации необходима бесконечная мощность. Поэтому понятие белого шума является математической абстракцией, удобной для построения теории. Практически можно говорить о большей или меньшей степени приближения случайной функции к белому шуму. Это можно сделать только в том случае, когда наименьший интервал между значениями аргумента, при которых значения случайной функции практически не коррелированны, называемый интервалом корреляции, достаточно мал. Если для скалярного СП X(t) можно считать практически равной 0 при и величина достаточно мала, то СП X(t) можно считать белым шумом интенсивности .

Ясно, что понятие интервала корреляции не является математически точным. Это чисто практическая мера близости случайных функций к белому шуму. Практически для случайных функций X(t) интервал корреляции определяется формулой:

Векторную случайную функцию X(t) можно считать белым шумом, если все ее компоненты допустимо принять за белый шум.

1.5. Свойства моментов второго порядка

1. .

Действительно, . Для скалярного процесса X(t) .

2. Матрица является неотрицательно определенной функцией .

По определению таких функциональных матриц это означает, что , , и векторов той же размерности, что и СП X(t), .

Действительно

Здесь использовано свойство: для любых векторов a и b одной размерности n .

3., где .

Нормой матрицы будем считать евклидову норму. Это свойство называют неравенством Коши- Буняковского. Оно следует из неравенства Шварца для математического ожидания : векторных с. величин , .

Пусть ξ и η – скалярные с. величины. Имеем λR 0дискриминант квадратного трехчлена относительно λ неположителен: . Используя его для векторных с. величин, получим