Случайные функции и случайные процессы, страница 5

Далее будем рассматривать только такие СПНРП, тем более, что любой СП Y(t) сводится к такому процессу. Достаточно рассмотреть процесс ,  - фиксированная точка из T, тогда .

Из определения также следует, что значение  процесса X(t) в любой момент t не коррелированно с его будущими приращениями на интервалах, следующих за моментом , и с его прошлыми приращениями на интервалах, предшествующих моменту :

 при   и , .

Этот факт становится очевидным, если учесть, что  есть приращение процесса X(t) на интервале , не пересекающимся с  при , и взятое с противоположным знаком приращение процесса X(t) на интервале , не пересекающимся с  при .

СПНРП описывают с помощью функции , равной

                                         (4)

Справедливо утверждение, что ковариационная функция процесса X(t) и ковариационная матрица приращения  процесса X(t) на любом интервале определяется следующими формулами:

;                         (5)

                                      (6)

Из определения функции k(t) ясно, что при  она представляет собой ковариационную матрицу значения процесса X(t) в момент t, при  - взятую с противоположным знаком ковариационную матрицу значения процесса X(t) в момент t.   Приращение функции k(t) на любом интервале служит ковариационной матрицей приращения процесса X(t) на интервале. Из этих фактов следует, что k(t) – неубывающая, неотрицательная при , неположительная при , равная нулю при функция.

Верно и обратное утверждение: если ковариационная функция СП X(t) определяется  формулой (5), и k(t) при этом функция с перечисленными выше свойствами, то X(t)-СПНРП, значение которого в момент  почти наверное равно 0.

Таким образом, возможность представления ковариационной функции процесса через функцию k(t) с указанными выше свойствами является необходимым и достаточным условием того, что X(t)-СПНРП и его значение при  равно нулю почти наверное.

Полагая в дальнейшем функцию k(t) непрерывной и дифференцируемой, выражение для  может быть переписано в виде при

,                                                   (7), где  - неотрицательная функция, называемая интенсивностью СПНРП.

         2.3. Процессы с независимыми приращениями

СП X(t), , называется процессом с независимыми приращениями(СПНП), если для любых  и , , таких, что , с.величины

 являются независимыми.  По определению независимых    с. величин    . Если  - наименьший среди всех индексов, то предполагается также, что независимы. Если Т={0,1,2,…}, то СПНП сводится к последовательности независимых с. величин  Если знать  распределения с. величин , к=1,2,… , то можно определить  совместное распределение любого конечного числа с. величин , так как .

Если процесс с независимыми приращениями имеет конечный момент второго порядка, то он является процессом с некоррелированными приращениями. Следовательно, в этом случае ковариационная функция  СПНП  X(t) определяется формулой:

, где k(t) – неубывающая неотрицательная функция, представляющая собой ковариационную матрицу ( дисперсию в случае скалярного процесса X(t)) значения процесса X(t) в данный момент t. Если k(t) – непрерывная и дифференцируемая функция, то    и - интенсивность СПНП.

         2.4. Марковские процессы

СП X(t), , называется марковским СП (МП) если для всех n>1 и любых  его условное распределение в момент времени не зависит от значений  процесса в моменты , а определяется значением процесса в момент времени , то есть                                   (8)

Если пространство состояний МП Х счетно и множество Т имеет вид Т={} ,то  МП называется марковской цепью . Еслимножество Х счетно, а  множество Т- непрерывное множество, то МП называют  МП с дискретными состояниями или дискретным МП. Если    Х и Т непрерывные множества, то МП называют  непрерывным марковским процессом.

Рассмотрим многомерную плотность распределения МП: 

. Следовательно, непрерывный МП

однозначно определяется своим двумерным распределением ().