Определение математических понятий. Объем и содержание понятий. Отношения между понятиями. Способы определения понятий. Корректные и некорректные определения (Глава7. из учебного пособия "Математика" Г.М.Аматовой)

АМАТОВА Г. М., АМАТОВ М. А. Математика: учебное пособие для факультетов подготовки бакалавров образования в области начального образования и учителей начальных классов педагогических высших учебных заведе­ний. — М., Московский психолого-социальный ин­ститут, 1999. — 488 с.

§7. Определение понятий. (с. 65-71)

7.1.      Объем и содержание понятий.

Развитие математики, так же как и любой другой науки, требует введения все новых понятий. На первых этапах познания окружающего мира возникали понятия, охватывающие довольно узкие классы объектов. Каждый шаг вперед в познании связан с введением все более общих понятий, объединяющих в себе множество объектов или отношений.

Термин "понятие" соединяет в себе целый класс объектов или от­ношений произвольной природы, обладающих определенным харак­теристическим свойством или целым набором таких свойств. Например, понятие "четырехугольник" обозначает класс всевоз­можных многоугольников, обладающих свойствами: иметь четыре стороны; иметь четыре вершины; иметь четыре угла и так далее.

Понятия условимся обозначать малыми буквами латинского ал­фавита:  а,b,с, …

Всякое понятие характеризуется объемом и содержанием.

Определение 2.22. Объемом понятия а будем называть множе­ство А объектов или отношений, охватываемых данным понятием.

Примеры: 1. Объемом понятия а - ""хвойное дерево" является множество А = {ель, сосна, кедр, ..., лиственница}. 2. Объемом понятия b - "однозначное натуральное число" явля­ется множество В = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

Определение 2.23. Содержанием понятия а будем называть мно­жество всех свойств, каждое из которых присуще любому элементу множества А.

Примеры: 1. Перечислим свойства, составляющие содержание по­нятия "биссектриса угла": а) быть лучом; б) исходить из вершины угла; в) делить угол пополам. 2. Перечислим свойства, составляющие содержание понятия "су­ществительное" : а) быть частью речи; б) обозначать предмет; в) отве­чать на вопрос " кто?" или " что?". Свойство " обозначать одушевлен­ный предмет" не входит в содержание понятия " существительное", так как этим свойством обладают не все существительные.

7.2.      Отношения между понятиями.

В зависимости от отношений между объемами понятий определяются отношения между самими понятиями.

Определение 2.24. Понятия а и b называются несовместимыми если объемы этих понятий не пересекаются, то есть АВ= Æ

Например, несовместимыми являются понятия: "горная порода" и "атмосфера"; "часть речи" и "знак препинания".

Определение 2.25.   Понятия  a  и b называются совместимыми, если объемы этих понятий находятся в отношении пере­сечения, то есть АВ ¹ Æ

Примерами совместных являются следующие понятия: "ромб" и " прямоугольник"; " нечетное число" и " простое число"; " хвойное де­рево" и "растение".

Если объем понятия а является собственным подмножеством объема понятия b, то есть, если

А  В и А ¹ В , то говорят:

1)понятие а является видовым по отношению к понятию b; понятие b - родовым по отношению к понятию а;

2) понятие а уже, чем понятие b , а понятие b шире понятия а;

3) понятие  а  есть частный случай понятия  b, а понятие  b есть обобщение понятия а.

Например, понятие "трапеция" - частный случай понятия "четы­рехугольник"; понятие "часть речи" - обобщение понятия " существи­тельное".

Определение 2.26. Понятия а и b называются тождественными (равносильными), если объемы этих понятий равны, то есть А = В.

Примерами тождественных понятий являются следующие: "окруж­ность" и "граница круга"; "равносторонний треугольник" и "равно­угольный треугольник".

Определение 2.27. Понятия а и b называются противоположны­ми, если объемы этих понятий являются дополнениями друг друга, то есть Ø = В и  ØВ = А .

Например, понятия "четное число" и "нечетное число" противо­положны на множестве N натуральных чисел.

7.3. Способы определения понятий.

При изучении понятий в любой науке им дают определения. Определить понятие - значит указать способ, с помощью которого можно отделять объек­ты или отношения, охватываемые данным понятием, от всех других объектов или отношений. Для того, чтобы определить понятие, надо указать его место в ря­ду других понятий данной науки, выявить его связи, зависимости от других понятий. Таким образом, определяя понятие, приходится со­вершать некоторую логическую операцию, в результате которой фор­мулируется предложение, раскрывающее содержание понятия. Сами предложения при этом называются определениями. Формулировать эти предложения можно по-разному. В зависимости от этого разли­чают способы определения понятий.

В первую очередь будем различать вербальные (словесные) и не­вербальные определения.

Невербальное определение - это определение понятия путем непо­средственной демонстрации объектов, охватываемых этим понятием, или приведения контекста, в котором содержится то или иное поня­тие.

Невербальные определения используются на начальном этапе из­учения предметов или отношений. Поэтому учитель начальных клас­сов должен быть знаком с ними особенно хорошо. Невербальные определения используются при изучении геометрического материа­ла. С помощью непосредственной демонстрации соответствующих моделей в начальных классах вводятся понятия: "круг", "много­угольник", "прямой угол" и другие. Такие невербальные определе­ния называются остенсивными (от лат. ostendere - показывать).

Отношения: "больше", "меньше", "равно" в начальных классах определяются с помощью приведения контекста "равно - это значит столько же". Такие невербальные определения называются контек­стуальными.

В дальнейшем по мере накопления запаса знаний происходит на­копление понятий, развивается язык и способность к обобщению. Все это дает возможность определять неизвестные понятия через извест­ные. Так появляются вербальные определения. Во всяком таком определении выделяются определяемое и определяющее понятия.

Например, в определении "Параллелограммом называется четы­рехугольник, у которого противоположные стороны попарно парал­лельны" понятие "параллелограмм" является определяемым (по лат. definiendum, сокращенно - Dfd), а понятие "четырехугольник, у кото­рого противоположные стороны попарно параллельны" - определяю­щим (по лат. definiens, сокращенно - Dfn).

Между определяемым и определяющим понятиями ставится спе­циальный знак              или

(              или              ) который читается «равносильно по определению или равно по определению» .

Общая схема вербального определения выглядит так:

DfdDfnили        Dfd       Dfn .