С точки зрения языка вербальные определения являются повествовательными предложениями, но не являются высказываниями в смысле математической логики. Относительно этих предложений не имеет смысла говорить истинны они или ложны. С логической точки зрения вербальные определения ближе к повелительным, чем повествовательным предложениям.
Рассмотрим некоторые способы вербальных определений.
1. Определение понятий через род и видовое отличие. Этот способ определения является наиболее распространенным, ему принадлежит ведущая роль в классической логике Аристотеля, поэтому его часто называют классическими. Логическая структура определений через род и видовое отличие проста, четко выражена и поэтому вполне доступна учащимся уже в начальных классах школы.
Приведем примеры таких определений: "Имя существительное- это часть речи, которая обозначает предмет и отвечает на вопрос кто? или что?"; "Квадрат - это прямоугольник, у которого все стороны равны".
Уже из приведенных примеров видна их общая структура. В определении указываются: некоторое множество (род), которому принадлежит определяемое понятие; свойство, которое выделяет определяемый объект из объектов этого же рода (видовое отличие).
Так в определении "Простым числом называется натуральное число, которое имеет точно два делителя" родовым понятием является понятие "натуральное число", а видовым отличием - свойство "иметь точно два делителя".
Если определяемое понятие обозначить через а , то его объем А выражается следующим образом: А = { х ½ хÎ В, Р(х)}. Здесь В - объем родового по отношению к а понятия, Р(х) -видовое отличие.
2. Генетическое определение понятий.
Генетические или конструктивные определения являются частным случаем определений через род и видовое отличие. В таких определениях видовое отличие указывает на происхождение определяемого объекта (отношения) или на способ его образования.
Рассмотрим следующее определение: "Циклоидой называется кривая линия, которую описывает любая точка окружности, катящейся по прямой без скольжения". Родовым здесь является понятие "кривая линия", а видовое отличие указывает на способ образования определяемой кривой.
3. Рекурсивные определения.
В последнее время в математике, ее приложениях, а также в других науках все чаще встречаются, так называемые, рекурсивные определения. В таких определениях указываются некоторые основные элементы из объема понятия и даются правила, позволяющие получать новые элементы из уже имеющихся. Примером рекурсивного определения является определение 2.6 логической формулы. Рекурсивные определения находят особенно широкое применение в языках программирования на ЭВМ.
4. Дискрипции.
Определения объектов и отношений путем указания их свойств называются дискрипциями. Примером дискрипции является определение 3.28 из §10. "Бинарное отношение р на множестве Xназывается отношением эквивалентности, если оно обладает свойствами: рефлексивности ("хÎХ)(хрх); симметричности ("х, у Î Х)(хру Þ урх) ; транзитивности ("x, у, z Î Х)(хру Ù ypz Þ xpz)"
Здесь родовым является понятие " бинарное отношение", а видовое отличие представлено перечислением свойств определяемого отношения.
5. Аксиоматические определения.
Если какое-то понятие вводится с помощью списка аксиом, описывающих свойства этого понятия, то такое определение называется аксиоматическим. Примером аксиоматического определения является следующее: "Умножением натуральных чисел называется алгебраическая операция, определенная на множестве N натуральных чисел и удовлетворяющая аксиомам: 1) ("а Î N)( a * 1 = а) ; 2) ("a, bÎN) (a*b' = a*b+a)"
7.4. Корректные и некорректные определения.
Для того, чтобы определения могли служить построению какой-либо научной теории, они должны удовлетворять определенным требованиям. Одним из самых важных таких требований является требование соразмерности определения. Это означает, что объем определяемого понятия должен совпадать с объемом определяющего понятия. Большинство ошибок в определениях приводит к нарушению соразмерности его частей.
Рассмотрим следующие предложения: "Биссектрисой угла называется луч, который делит угол пополам"; "Островом называется небольшая, по сравнению с материком, часть суши, окруженная со всех сторон морем". В первом случае объем определяющего понятия шире объема определяемого понятия (видовое отличие неполно, не сказано, что луч выходит из вершины угла), во втором - объем определяющего понятия уже объема определяемого понятия (видовое отличие сужено, острова бывают не только в море, но и в озерах, реках).
Таким образом, ни одно из приведенных предложений не является определением, так как в обоих случаях нарушено требование соразмерности.
Другим важным требованием, предъявляемым к определениям, является отсутствие порочного круга. Нарушение этого требования проявляется в том, что определяемое понятие содержится в определяющем или в цепочке последовательных определений используются термины, ранее определенные через определяемое. Поэтому, если указанное требование не выполняется, то процедура определения понятий "зацикливается" и не сводится к исходным понятиям.
В качестве примеров рассмотрим предложения:
1) "Будем говорить, что число а равно числу b , если число (а — b) равно нулю".
2) "Шаром называется часть пространства, ограниченная сферой", "Сферой называется граница шара".
В первом примере определяемое "равенство чисел" содержится в определяющем, а во втором - одно понятие "шар" определяется через другое "сфера", и наоборот, понятие "сфера" определяется через понятие "шар".
Следующим требованием, выполнение которого необходимо для определений, является отсутствие омонимии. Каждый термин в качестве определяемого должен встречаться не более одного раза. При нарушении этого условия нарушается однозначность определения, один и тот же термин будет обозначать различные объекты или отношения. Нарушение этого требования особенно опасно в начале изучения курса, так как создает неразбериху и вызывает дополнительные трудности при его усвоении.
В математической литературе до сих пор сохраняются некоторые омонимии. Например, слово "цифра" понимается как символ для записи числа и как соответствующее однозначное число.
При определении понятий желательно выполнение еще одного условия. Формулировка определения не должна содержать лишних свойств, которые можно вывести из других свойств, указанных в том же определении.
Рассмотрим в качестве примера определение: "Натуральное число называется простым, если оно имеет только два делителя и делится только на себя и единицу".
Совершенно очевидно, что условие "иметь только два делителя" вытекает из условия "делиться только на себя и на единицу", и наоборот, а поэтому одно из этих условий является лишним.
Если определение удовлетворяет перечисленным выше условиям, то его называют корректным.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.