Один из способов проверки решения задачи

Один из способов проверки решения задачи

(Начальная школа, 1988. – №2 )

Одна из важных задач начального курса математики — формирование умения решать текстовые задачи. Компонентом этого умения является умение проверять решение.

В методической литературе описываются четыре приема проверки: прикидка результата или установление его границ, решение задачи другим способом, установление соответствия результата решения условию задачи. Каждый из указанных приемов обладает рядом достоинств и недостатков (см., например, об этом статью в № 2 журнала «Начальная школа» за 1984 г.). обусловливающих возможности обучения этим приемам. Но есть общий недостаток у всех перечисленных приемов — каждый из них направлен на проверку конечного результата и в абсолютном большинстве случаев не дает возможности обнаружить ошибки в ходе решения, если они допущены. Кроме того, при проверке любым из перечисленных приемов в разряд правильных может попасть решение с несколькими взаимно компенсирующими друг друга ошибками, когда решение неверно, а результат — ответ на вопрос задачи — верен.

Эти недостатки наряду с другими причинами в определенной мере способствуют тому, что в практике обучения такие приемы проверки используются редко. Но есть прием проверки, который не освещен в методической литературе, но которым на интуитивном уровне с успехом пользуются учителя для доказательства неверности арифметического, а иногда и алгебраического решения текстовой задачи.

Кто не помнит случаев на уроке, когда учитель говорит незадачливому ученику: «Посмотри на свое второе действие. Что обозначает число 30? (Число ящиков с грушами.) А число 4? (Ящиков с яблоками на 4 больше, чем с грушами.) Так что же ты получишь, умножая ящики (число ящиков) на ящики (на число ящиков)? (Ничего.) Вот то-то же! Бессмыслицу ты получишь. Неправильно выбрал второе действие. Давай думать, что и как следовало бы узнать во втором действии».

В описанной ситуации учитель использовал проверку решения задачи путем определения смысла составленных по задаче выражений (действий) и последующей проверки правильности вычислений. Думаю, что настала пора осмыслить теоретически этот прием, определить его место среди других приемов и дать возможность учителю сознательно применять его в обучении.

Вначале подробно опишем образцы полных рассуждений при проверке решения задачи рассматриваемым приемом.

При самостоятельном решении приведенной ниже задачи учащиеся 1 класса одной из школ г. Новосибирска получили два разных решения.

Задача 91 (Математика. 1, с. 140):

«Мальчик купил альбом за 30 к. В кассу он подал две монеты: 15 к. и 20 к. Сколько сдачи получит мальчик?»

Большинство учащихся записали решение так:

1) 15 + 20 = 35 (к.)

2) 35 – 30 = 5 (к.)

О т в е т: 5 к. сдачи получит мальчик. Однако некоторые учащиеся записали решение так:

1) 30 + 15 = 45 (к.)

2) 45 – 20 = 25 (к.)

О т в е т: 25 к. сдачи получит мальчик. Приведем полностью все рассуждения (при проверке в классе они проводятся устно). Проверка первого решения. Читаю выражение в первом действии: сумма пятнадцати и двадцати (к пятнадцати прибавить 20). Нахожу в тексте задачи, что обозначает число 15 и число 20. 15 и 20 — это 15 к. и 20 к., которые мальчик подал в кассу. Тогда сумма чисел 15 и 20, а также результат 35 будут показывать, сколько всего копеек подал мальчик в кассу.

Читаю выражение во втором действии: разность тридцати пяти и тридцати. Выясняю, что обозначает каждое число в этом выражении. 35 — это результат первого действия, который показывает, сколько всего денег мальчик подал в кассу. 30 — это 30 к. стоит альбом, который купил мальчик, значит, столько копеек должен взять у мальчика кассир. Тогда разность 35–30 будет показывать, сколько денег останется у мальчика или сколько копеек сдачи получит мальчик.

Второе действие — последнее в записи решения. Поэтому читаю вопрос задачи: «Сколько сдачи получит мальчик?» В вопросе задачи как раз и спрашивается то, что показывает последнее действие. Следовательно, действия при решении задачи выбраны верно.

Проверим вычисления: 15 + 20 = 10 + 20 + 5 = 30 + 5 = 35 — верно: из числа 35 вычли 30, получили 5, т. е. из числа, состоящего из 3 десятков и 5 единиц, вычли все десятки, остались 5 единиц. Второе действие тоже выполнено верно. Так как при решении задачи правильно выбраны действия и правильно выполнены вычисления, то задача решена верно. Правильный ответ на вопрос задачи — мальчик получит 5 к. сдачи.

П р о в е р к а  в т о р о г о  р е ш е н и я.

Читаю выражение в первом действии: сумма тридцати и пятнадцати (к тридцати прибавить 15). Нахожу в тексте задачи, что обозначают числа 30 и 15. 30 — это 30 к. стоит альбом, который купил мальчик. 15 — это монета в 15 к., поданная мальчиком в кассу. Значит, сумма 30 + 15 — это сумма стоимости альбома и достоинства монеты, которой мальчик платит за альбом. Эта сумма в данной задаче не имеет смысла (ни для кассира, ни для мальчика, если мы представим реальную ситуацию, эта сумма не имеет никакого значения). Но это означает, что первое действие выбрано неверно, число 45, полученное в результате этого действия, не имеет смысла, но тогда не имеет смысла и второе действие. Задача решена неверно, причем ошибка допущена в первом действии.

На уроке рассуждения могут быть короче за счет сокращения обосновывающей их части в соответствии с особенностями мышления учащихся конкретного класса и с уровнем их математической подготовки. Так, например, в классе, у учащихся которого сформированы прочные вычислительные навыки, достаточно констатации того, что вычисления выполнены верно. В статье же мы сознательно приводим развернутые рассуждения, чтобы читатель мог понять их логику и суть рассматриваемого приема проверки.

Приведем еще один пример.

Задача 864 (1) (Математика. 3):

«Нужно покрасить 150 рам. Один маляр может это сделать за 15 дней, другой — за 10 дней. За сколько дней выполнят эту работу оба маляра, если будут работать вместе?»

Возьмем решения двух учеников, решавших задачу по-разному, но получивших одинаковые ответы на вопрос задачи. Решение первого ученика:

1) 15 + 10 = 25 (дн.)

2) 150 : 25 = 6 (дн.)

О т в е т: работая вместе, оба маляра выполнят работу за 6 дней. Решение второго ученика:

1) 150 : 15 = 10 (рам)

2) 150 : 10 = 15 (рам)

3) 10 + 15 = 25 (рам)

4) 150 : 25 = 6 (дн.)

О т в е т: работая вместе, оба маляра выполнят работу за 6 дней.