Разряд с осцилляцией электронов в магнитном поле и его инициирование, страница 4

где n_i и v_i - концентрация и средняя скорость ионов, но в правой части нет знака минус, так как за положительное направление для ионного потока принято направление от анода к катоду. Уравнение движения ионов будем использовать в упрощенной форме [97], но без столкновительного члена

,                                                        (4.2.11)

где M - масса иона.

Комбинируя уравнения (4.2.1) и (4.2.2) можно получить дифференциальное уравнение второго порядка для n_f

          n_f  - = 0.                                                             (4.2.12)

Одно из двух необходимых для решения этого уравнения граничных условий определяется процессами на катоде

          n_f(d) v_f(d) = D_f,                                 (4.2.13)

где j_c - плотность ионного тока на катоде. В качестве второго можно выбрать обращение n_f в 0 на поглощающей стенке т.е. на аноде

          n_f(0)= 0.                                                                           (4.2.14)

Удовлетворяющее обоим граничным условиям решение имеет следующий вид

          n_f =.                                                          (4.2.15)

Cчитая, что все образующиеся в промежутке ионы поступают на катод, можно записать следующее выражение для плотности ионного тока на катоде

          j_c = = .           (4.2.16)

Из (4.2.16) вытекает, что для самоподдержания разряда должно выполняться следующее условие

.                                               (4.2.17)

Вводя в рассмотрение параметр

                                                       (4.2.18)

и безразмерную переменную

           b=                                                                              (4.2.19)

можно преобразовать (4.2.17) к следующему виду

.                                                  (4.2.20)

В этом соотношение используется также безразмерное напряжение u, которое определяется тем же выражением u=U_с/U₀, что и при рассмотрении разряда с полым катодом в главе 2, где обсуждался физический смысл параметра U₀. Для выяснения физического смысла параметра B₀ проведем еще некоторые преобразования. Из (4.2.20) можно получить явное выражение для зависимости b(u)

          b = .                                                      (4.2.21)

Функция (4.2.21) имеет в точке u=1.73 минимум равный единице. Соответственно, обратная функция u(b), определяющая зависимость напряжения горения разряда от индукции магнитного поля, имеет область определения  и является в этой области двузначной (см.  рис.4.7), а при  или, соответственно, при B<B₀ выполнение условия самостоятельности невозможно ни при

Рис.4.7. Зависимость напряжения горения от магнитной индукции

каком напряжении. Таким образом B₀ это минимальное значение индукции магнитного поля, при котором еще возможно горение рассматриваемой формы разряда.  Оценки B₀ по приведенному выражению хорошо согласуются с результатами экспериментов, описанных в разделе 4.1, а также выполненных в работе [98], в которой исследовался разряд в системе обращенный магнетрон, состоящей из двух коаксиальных цилиндров с близкими радиусами, так что условия этого эксперимента были достаточно близки к плоской геометрии. Однако следует отметить, что результаты экспериментов показывают, что нижняя граница диапазона магнитных полей меняется с изменением давления в разряде, хотя эта зависимость и является довольно слабой, например в [98] при давлении газа 0.3 Па сильноточный разряд удавалось инициировать при В = 14 мТ, а при увеличении давления в 2 раза магнитную индукцию удалось уменьшить до 13 мТ. Излагаемая модель в силу сделанных допущений (n_i ~ const, n_f ~ const) не описывает этот слабый эффект.