Применение критерия устойчивости Найквиста с использованием логарифмических частотных характеристик. Определение запасов устойчивости

Лекция 14.Применение критерия устойчивости Найквиста с использованием логарифмических частотных характеристик. Определение запасов устойчивости

Критерий Найквиста обеспечивает анализ устойчивости также и на основе логарифмических частотных характеристик.

Для общего случая удобно использовать форму критерия, основанную на подсчете переходов. При этом следует учитывать, что переходам АФХ через горизонтальную ось левее точки (-1; 0j) на комплексной плоскости для логарифмических характеристик будут соответствовать переходы ЛФЧХ j(w) через горизонтальную ось на участках, где ЛАХ L(w)>0. Положительным является переход в направлении увеличения значений j(w), то есть сверху вниз, отрицательным – переход в обратном направлении.

Поскольку логарифмические частотные характеристики строятся для положительных частот, критерий сводится к соблюдению равенства:

, где n₍₊₎ – количество «положительных» переходов, n_(-) – количество «отрицательных» переходов, l - количество корней знаменателя передаточной функции разомкнутой системы, лежащих в правой полуплоскости.

Для систем, нейтрально устойчивых в разомкнутом состоянии, дополняющие АФХ дуги принимают вид вертикальных прямых на соответствующих частотах:

- для нулевого корня от уровня j(w)=0 до ;

- для мнимого корня вверх на p, то есть в пределах разрыва ЛФЧХ.

Вернемся к некоторым рассмотренным выше примерам.

Рисунок 106 демонстрирует применение критерия Найквиста для замкнутой системы с единичной обратной связью при

,T₁<T₂.

На рисунке 106а представлена АФХ разомкнутой системы, обеспечивающая устойчивость замкнутой системы. На рисунке 106б соответствующие ей логарифмические частотные характеристики. Для рассматриваемого случая l=1 и на частоте, стремящейся к нулю, имеет место положительный «полупереход» ЛФЧХ через горизонтальную ось, так как j(0)=-180°. Таким образом, для устойчивости замкнутой системы (, ) требуется, чтобы на малых частотах имело место L(w)>0, что будет при k>1. Это и есть условие устойчивости для рассматриваемой системы.

Для системы нейтрально устойчивой в разомкнутом состоянии с передаточной функцией

дополняющая АФХ дуга бесконечно большого радиуса (рисунок 107а) для логарифмических частотных характеристик превратится в отрезок прямой, дополняющий ЛФЧХ при , там, где , от j(w)=0 до  (рисунок 107б), так как нулевой корень здесь один.

Для рассматриваемой системы l=0. Поэтому для устойчивости замкнутой системы  требуется, чтобы единственный – отрицательный – переход ЛФЧХ через горизонтальную ось имел место за пределами участка, где L(w)>0. Тогда получим . В результате приходим к условию, полученному ранее на основе АФХ: L(w₁)<0 или , где частота w₁ определяется из условия .

Для системы с передаточной функцией

имеем l=1, r=3. ЛФЧХ должна быть дополнена при  отрезком от j(w)=0 до  (рисунок 108б). Это дополнение обеспечивает отрицательный переход ЛФЧХ через горизонтальную ось, который должен быть скомпенсирован положительным. В результате приходим к условию, полученному ранее на основе АФХ: L(w₁)>0 или , где частота w₁ определяется из условия .

Для систем устойчивых и нейтрально устойчивых в разомкнутом состоянии применение критерия Найквиста с использованием логарифмических частотных характеристик может быть сведено к сравнению значений двух частот, на которых характеристики пересекают горизонтальную ось: w₁ для ЛФЧХ () и w₂ для ЛАХ (L(w₂)=0). Частоту w₂ называют частотой среза.

Если ЛФЧХ пересекает горизонтальную ось снизу вверх (в отрицательном направлении), для устойчивости замкнутой системы достаточно выполнения неравенства w₁>w₂. Это условие абсолютной устойчивости замкнутой системы.

Если ЛФЧХ пересекает горизонтальную ось сверху вниз (в положительном направлении), получаем условие условной устойчивости замкнутой системы: w₁<w₂.

При совпадении w₁ и w₂ получаем колебательную границу устойчивости.

Важный практический интерес представляет вопрос о возможности использования для анализа устойчивости асимптотических ЛАХ, что в большинстве случаев значительно упрощает решение рассматриваемых задач.

Вспомним, что при отсутствии комплексных корней знаменателя передаточной функции погрешности асимптотической ЛАХ по отношению к точной достигают на сопрягающих частотах максимальных значений 3, 6 или 9 Дб в зависимости от изменения наклона асимптотической ЛАХ на конкретной частоте. При наличии комплексных корней погрешность на соответствующей сопрягающей частоте или на близкой к ней резонансной может достигать любых значений.