Достижимость, минимальность, развязанные нули. Выходной развязанный нуль, ненаблюдаемость, хорошая сформированность, степень Макмиллана, биправильность, индекс управляемости, распределения, экспоненциальная устойчивость, правое/левое взаимно простое разложение, внутренняя правильность, страница 5

                                                                                                                         (а)

для  называют экспоненциально устойчивым (exponentally stable), если для любых начальных значений  и ее производных в  величина  стремится к нулю. Имеют место следующие свойства:

1)   не включает распределения (distribution) при  в форме , где  для всех i;

2)   экспоненциально убывает, т. е.  такое, что  ограничено.

S99.   экспоненциально устойчиво тогда и только тогда, когда , . (Эквивалентная формулировка: полиномиальная матрица D не имеет нулей в  и в бесконечности тогда и только тогда, когда  не имеет полюсов в  и в бесконечности).

S100.  Система  экспоненциально устойчива (exponential stable) тогда и только тогда, когда справедливо:

1)  любая траектория псевдосостояния  при нулевом входе экспоненциально устойчива;

2)   хорошо сформирована. Отметим, что 1) эквивалентно утверждению:  такое, что

ограничено.

S101.   экспоненциально устойчива тогда и только тогда, когда:

1)  ;

2)   правильные.

S102.  Пусть  экспоненциально устойчивая. Тогда:

1)  при нулевом входе  и  экспоненциально затухают: т. е.  такое, что  и  ограничены на ;

2)  при любом управлении, кусочно дифференцируемом на , и при любых начальных условиях в предположении, что , справедливо:

i)  если  (u ограничено на ), то ;

ii) если , , то:

, ;

iii)  если , то:

, .

S103.  Передаточную функцию  называют экспоненциально устойчивой (exponentially stable), если Н правильная и .

S104.  Пусть  - экспоненциально устойчивая, тогда:

1)   и  экспоненциально устойчивы тогда и только тогда, когда  хорошо сформирована;

2)   не имеет скрытых неустойчивых мод тогда и только тогда, когда  не имеет развязанных нулей.

S105.  , соответствующее , называют правым-левым взаимно простым разложением (right-left-coprime fraction), если:

1)  ;

2)  ;

3)   справа взаимно простое,  слева взаимно простое.

Если не выполняется 3), то  называют правым-левым разложением (right-left fraction) для Н.

S106.  Справедливо:

1)  пусть  - правое-левое разложение Н, тогда:

;

2)  пусть  - правое-левое взаимно простое разложение, тогда:

;

3)  пусть  - правое-левое взаимно простое разложение, тогда:

Н экспоненциально устойчиво Û .

S107.  Правое-левое взаимно простое разложение  для Н называют внутренне правильным (internally proper), если

правильные.

S108.  Тройка  называется левым-правым взаимно простым разложением (left-right-coprime fraction), если:

1)  ;

2)  ;

3)   слева взаимно простое,  справа взаимно простое.

Если не выполняется 3), то  называют левым-правым разложением (left-right fraction) для Н.

S109.  Пусть  левое-правое взаимно простое разложение для Н. Тогда:

 нуль .

S110.  Пусть  невырожденная, тогда:

1)  ;

2)   тогда и только тогда, когда существуют унимодальные матрицы  такие, что:

i)   - строчно-столбцово приведенная со строчными степенями  и столбцовыми степенями ;

ii) , .

В 1)  - столбцово приведенная,  - строчно приведенная,  - биправильная.

S111.  Пусть  имеет правое-левое разложение , где . Тогда:

1)   - внутренне правильное (или эквивалентно:  - хорошо устроена), если и только если , где  - биправильная,  - столбцово приведенная,  - строчно приведенная. Кроме того, ,  - правильные рациональные матрицы;

2)   - внутренне правильное, если и только если существуют унимодальные матрицы  такие, что:

i)   - строчно-столбцово приведенная со строчными степенями  и столбцовыми степенями ;

ii)  для ; для ;

iii)   для ; для .