Докажем утверждение в другую сторону. Пусть для . Перейдем к изображениям в последнем уравнении. Это равносильно тому, что такое, что
(з)
Из условия следует, что - взаимно простые слева. Отсюда существуют такие , что Умножим справа на : и обозначим и Получим Умножим слева на L(s):
(и)
Но из (з) следует . Подставим в (и):
где - полиномиальный вектор, следовательно, мы нашли такой вектор управления u(t), что соответствующая ему траектория при совпадает с . Следовательно, x(t) достижима S64.
$19. Показать, что полиномиальный вектор (г) S65.
S66. Дана система:
. (а)
Любая траектория псевдосостояния при нулевом входе достижима тогда и только тогда, когда пара взаимно простая слева.
В противном случае $ решение , не являющееся решением для . Физический смысл состоит в том, что некоторые траектории псевдосостояния не могут быть возбуждены каким-либо входом.
S67. называют входным развязанным нулем (input-decoupling zero) системы (а) из S66, если и только если для всякого наибольшего общего делителя пары матриц имеет место .
S68. Любая траектория псевдосостояния системы (а) из S66 при нулевом входе достижима тогда и только тогда, когда D не имеет входных развязанных нулей.
$20. Показать, что входной развязанный нуль, если и только если
.
S69. Дана система (а) S66. Траектория псевдосостояния при нулевом входе называется ненаблюдаемой (unobservable), если и только если , . Это равносильно тому, что существует такое, что
.
Комментарий. Если - взаимно простые справа, то
.
S70. Дана пара матриц , у которой наибольший общий правый делитель . Тогда существует взаимно простые справа такие, что , . Взаимная простота равносильна существованию таких, что
, (а)
и равносильна
. (б)
Утверждение. Траектория псевдосостояния при нулевом входе тогда и только тогда ненаблюдаема, когда .
Доказательство. Пусть . Тогда и , откуда и . Следовательно,
, (в)
т. е. ненаблюдаемая (S69).
Пусть - ненаблюдаемая траектория. Тогда (S69) имеет место (в). перейдем к взаимно простым матрицам: и умножим слева на : . Так как в левой части (до R) получаем единичную матрицу (а), доказали, что .
S71. Дана система (а) из S66. Любая нетривиальная траектория псевдосостояния при нулевом входе наблюдаема тогда и только тогда, когда - взаимно простые справа.
Это динамическая интерпретация сокращения общих неунимодальных правых множителей в правом разложении для .
S72. z называют выходным развязанным нулем (output-decoupling zero) для системы (а) S66, если и только если для любого наибольшего общего правого делителя пары справедливо: .
S73. Траектория псевдосостояния при нулевом входе наблюдаема тогда и только тогда, когда нет выходных развязанных нулей.
Примечание. Система полностью наблюдаема тогда и только тогда, когда отсутствуют выходные развязанные нули.
$21. Показать, что , тогда и только тогда, когда z - выходной развязанный нуль. Здесь матрица имеет размеры .
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.