Достижимость, минимальность, развязанные нули. Выходной развязанный нуль, ненаблюдаемость, хорошая сформированность, степень Макмиллана, биправильность, индекс управляемости, распределения, экспоненциальная устойчивость, правое/левое взаимно простое разложение, внутренняя правильность, страница 3

S74.  Развязанный нуль (decoupling zero) - это либо входной развязанный нуль либо выходной развязанный нуль. Если система не имеет развязанных нулей, будем говорить, что она не имеет скрытых мод (hidden modes).

S75.  Пусть система задана при помощи полиномиального матричного описания (а) S66. Кратко будем писать так: .

Описание назовем минимальным (minimality), если и только если система  не имеет развязанных нулей.

S76.  Описание  минимально тогда и только тогда, когда  - взаимно простые слева и  - взаимно простые справа.

Примечание. Обычно считаем, что матрицы  и  имеют полные ранги, что приводит к отсутствию тривиальных (линейно зависимых) входов и выходов. Попробуйте это объяснить.

S77.  Пусть описание  минимальное, ,  и , матрица D имеет размеры . Как известно, передаточная функция этой системы равна . Тогда:

1)  ;

2)  .

Напомним, что

системная матрица;  - множество полюсов передаточной функции ;  - множество нулей передаточной функции .

S78.  Обычно предполагается, что управление  дифференцируемо неограниченное число раз и его изображение есть отношение полинома к полиному, точнее, . Если вспомнить дифференцируемость, то . Иначе могут быть разрывы при .

S79.  Рассмотрим случай

                                                              ,                                                          (а)

где , т. е. ее можно представить так: . В изображениях уравнение (а) запишется так:

                                                      .                                                 (б)

Здесь  - вектор начальных условий. Он может быть записан при помощи матрицы Теплица (Toeplitz matrix) :

,

где

.

Из (б) получим: . Доказывается, что для вычислений эта формула может быть приведена к виду:

.


Здесь

.

S80.  Система

                                                                                                                         (а)

хорошо сформирована (well formed), если при любых начальных условиях решение  не содержит функцию  и ее производные. Другими словами,  - строго правильная при любых начальных условиях.

S81.  Система (а) из S80 хорошо сформирована тогда и только тогда, когда  не имеет нулей в бесконечности. Кстати,  не имеет нулей в бесконечности тогда и только тогда, когда .

$22.  Дано:

.

Найти решение (а) S80. Будет ли  правильной?

S82.  Система  называется хорошо сформированной при нулевом входе (zero-input well formed), если при любых начальных условиях траектория x и выход y не включают d-функции и их поизводные.

S83.  Степенью Макмиллана (McMillan degree) матрицы D называется высшая степень минора среди всех миноров матрицы D и обозначается .

S84.  Дана система . Следующие утверждения эквивалентны:

1)  система  хорошо сформирована при нулевом входе;

2)  матрицы  и  правильные, что эквивалентно

.

S85.  Дана система , где D - столбцово приведенная. Тогда если , то  - хорошо сформирована при нулевом входе.

S86.  Дана система

                                                         (а)

или кратко D. Пусть R - унимодальная матрица такая, что , ,  - столбцово приведенная. Тогда:

D - хорошо сформирована Û ,

при нулевом входе .

S87.  D называют хорошо сформированным нулевым состоянием (zero-state well formed), если и только если для произвольного управления  такого, что , вектор псевдосостояния  и вектор выхода  таковы, что  и  строго правильны.

S88.  Пусть передаточная функция системы (S86, а)

,

тогда  имеет полюса в бесконечности в том и только в том случае, если существует управление  такое, что , и изображение выходного сигнала  имеет полиномиальную часть.