S89. Система D имеет хорошо сформированное нулевое состояние тогда и только тогда, когда и .
S90. Система D хорошо сформирована (well formed), если для любых начальных условий вектора x и его производных и для любого входа такого, что , имеем: и .
S91. Система хорошо сформирована тогда и только тогда, когда матрицы
(а)
правильные. Правильность матриц (а) равносильна , где Р системная матрица
.
S92. называют приведенной по строчкам и столбцам (row-column-reduced), если и только если такие, что
, (а)
где . называют степенью i-й строки (row power), называют степенью j-го столбца (column power), называют коэффициентной матрицей при высших степенях (highest degree coefficient matrix). Матрицу D называют биправильной (biproper), если и правильные. Уравнение (а) эквивалентно:
ОКРУЖНАЯ , (б)
где - биправильная, - строчно приведенная, - столбцово приведенная.
$23. Найти связь между формулами (а) и (б) S92.
S93. Пусть - несингулярная приведенная по строчкам и столбцам. Обозначим элементы D через , т. е. . Следующие утверждения эквивалентны:
1) D - приведенная по строчкам и столбцам с , - диагональная;
2) .
$24. Привести матрицу
к виду, приведенному по строчкам и столбцам. Выполним несколько унимодальных операций. 1) Из первого столбца вычтем второй столбец, умноженный на s. Кратко это запишем так: . 2) К первому столбцу прибавим третий столбец, умноженный на : . 3) :
~ ~ ~ .
Обозначим полученную матрицу через . Тогда .
S94. приведенная по строчкам и столбцам тогда и только тогда, когда . Здесь - степени строк, - степени столбцов.
S95. Если приведенная по строчкам и столбцам, тогда - правильная.
Доказательство. Представим матрицу так:
.
Матрица, стоящая в фигурных скобках, правильная: она равна из (б) S92. Кроме того, последняя и первая матрицы также правильные. Следовательно, матрица правильная.
$25. Рассмотрим процедуру поиска (А, В, С) по строго правильной передаточной функции , если известно правое полиномиальное разложение , т. е. . Обозначим . Числа называют индексами управляемости (controllability indices) пары (А, В). введем матрицу
.
Оказывается, что
. (а)
Действительно,
.
Выражение в фигурных скобках получено из первой формулы (а). Из первой формулы (а) находим матрицы А, В и из второй - матрицу С.
S96. Пусть невырожденная приведенная по строчкам и столбцам, причем строчные степени и столбцовые степени . Далее такая, что ; - такая, что . Тогда для всех i, j справедливы включения:
, (а)
, (б)
. (в)
Докажем (а):
.
Матрицы, стоящие в фигурных скобках, правильные (см. доказательство в S95). Следовательно, - правильная. Утверждение (а) доказано. Доказательство (б) и (в) совершенно аналогично и здесь не приводится.
S97. Пусть дана система такая, что D - приведенная по строчкам и столбцам, причем строчные степени и столбцовые степени . Для всех , , . Тогда - хорошо устроенная.
S98. Рассмотрим невырожденную. Решение
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.