Числовые характеристики функций случайных величин

Тема 6. Числовые характеристики функций случайных величин.

В практических задачах часто встречаются вопросы, требующие оценки числовых характеристик функций СВ. Простейший случай нам встречался, например, вычисление значения начального момента порядка 2 (α₂). Известно, что , где , а X – дискретная СВ, заданная своим рядом распределения. Напомним, что в этом случае значения  имели ряд значений вероятностей p_i, эквивалентных для соответствующих x_i, , т.е. вероятности самих СВ и функций совпадали.

Другого типа задача: на вход технического устройства поступает случайное воздействие X, которое преобразуется по некоторому закону φ и на выходе мы имеем СВ вида Y=φ(X). При известном законе распределения СВ X необходимо найти числовые характеристики СВ Y. См. Схемы:

В описанных случаях могут возникнуть три типа задач:

1. Зная закон распределения СВ X, найти закон распределения СВ Y, естественно это можно обобщить на системы СВ.

2. Зная закон распределения СВ X, найти числовые характеристики СВ Y (или системы).

3. Зная числовые характеристики СВ X, найти числовые характеристики СВ Y.

Рассмотрим методы решения задач типа 2 и 3.

Пусть СВ Y зависит функционально от СВ X, т.е.

Y=φ(X).

Схема решения такой задачи такова:

Для дискретного случая :

Дано:

X:	x1	x2	…	xi	…	xn
	p1	p2	…	pi	…	pn

Это ряд распределения для СВ X

где      ,

 и

При X=x_i имеем Y=φ(x_i) и вероятность этого события равна p_i. Можно записать таблицу вида:

φ(x1)	φ(x2)	…	φ(xi)	…	φ(xn)	(6.1)
p1	p2	…	pi	…	pn

Но это еще не ряд распределения для СВ Y.

Необходимо построить Σ_Y={y₁, y₂,…} и объединить одинаковые значения на совокупности функций φ(x_i), присваивая им вероятность как сумму составляющих.

Но если речь идёт о расчёте M[Y] и D[Y], то можно воспользоваться таблицей в виде (6.1). Действительно, имеем

,

, где

или в координатной форме

Аналогично определяются начальные и центральные моменты s-го порядка:

 и

Для непрерывного случая при известной плотности f(x) имеем:

;

;

;

Таким образом, по закону распределения аргумента X есть возможность найти числовые характеристики функции вида Y=φ(X).

Расчётные формулы, аналогичные приведённым, можно привести и для функции нескольких случайных аргументов.

Пусть Y=φ(X₁, X₂, …, X_n) и известна совместная плотность вида f(x₁, x₂,…, x_n). Для расчётов используем формулы вида:

                   (6.2)

       (6.3)

                 (6.4)

      (6.5)

Очевидно, что с ростом размерности системы НСВ появляются сложности аналитического и вычислительного направлений.

Идею упрощения покажем на примере системы НСВ размерности 2.

Известно, что совместная плотность пары случайных величин X₁ и X₂, непрерывных по своей природе, выражается в общем виде как

, где

 - условная плотность СВ X₁ при условии, что СВ X₂ приняла значение x₂.

Мы можем записать симметричную форму в виде

с той же интерпретацией.

Замечание. Это правило строго называют теоремой умножения плотностей (в схеме непрерывных случайных величин).

Если сейчас попытаться, например, оценить значение M[Y], где Y=φ(X₁, X₂), то необходимо использовать формулу

   (6.6)

где внутренний интеграл представляет собой условное математическое ожидание, которое затем преобразуется в безусловное. Такое преобразование называют интегральной формулой полного математического ожидания.

Можно обобщить такую формулу на систему n>2 случайных величин. Например, формула (6.2) принимает вид:

(6.7)

Эта формула построена как и (6.6), называется она интегральная формула полного математического ожидания для системы НСВ, заданных своей совместной плотностью f(x₁,…,x_n).

Запись формул для D[Y], α_s[Y], μ_s[Y] в виде (6.7) требует только аккуратности.

Во многих прикладных задачах числовые характеристики СВ Y=φ(X₁,…,X_n) можно определить как функции числовых характеристик системы СВ (X₁,…,X_n). Главное – при этом нет необходимости знать законы распределения для системы, достаточно знать лишь числовые характеристики системы.

Перечислим именно такие случаи, (частично они нам знакомы).

1. Математическое ожидание неслучайной величины c равно c, т.е

M[c]=c

2. Дисперсия неслучайной величины c равна 0, т.е

D[c]=0

3. Обобщение 1 и 2 можно представить так:

M[cX]=cM[X] и D[cX]=c²D[X]

Для доказательства последнего следует представить D[cX] в виде

4. Правило сложения математических ожиданий для 2-х СВ представляют обычно в виде:

и его обобщение

5. Математическое ожидание линейной функции определяют по правилу:

где ,  - неслучайные величины.

6. Дисперсия суммы СВ равна сумме всех элементов корреляционной матрицы ||K_ij|| этих СВ:

или, в силу симметрии матрицы ||K_ij|| относительно главной диагонали, имеем

Замечание. Если СВ X₁,…,X_n некоррелированы, т.е. K_ij=0 при i≠j, то

7. Дисперсия линейной функции случайных величин определяется по формуле:

где a₀,a₁,…,a_n – неслучайные величины.

8. Математическое ожидание произведения 2-х СВ вычисляют по формуле:

, где

Для некоррелированных СВ X₁ и X₂, т.е. при K₁₂=0

Обобщение следует непосредственно при некоррелированности

Оказывается, независимость системы упрощает все вычисления, т.к. независимость влечёт некоррелированность.

9. Дисперсия произведения независимых СВ X₁,…,X_n выражается в виде

где D_i=D[X_i], m_i=M[X_i].

Напомним, что

10. О коэффициенте корреляции для линейно зависимых случайных величин X и Y, т.е. для случая

Y=aX+b, a и b – неслучайные величины

Имеем по определению

. Тогда

, что и следовало ожидать.

Для нормирования K_xy необходимо знать σ_y и σ_x.

, т.е.

Тогда , т.е.

Таким образом, в общем случае

 - это нам уже встречалось.