Основы теории линейных импульсных (цифровых) систем управления, страница 4

Фазовые траектории, определяемые уравнением (9.2) имеют следующие свойства:

При  переменная  всегда возрастает;

При  переменная  всегда убывает;

При возрастании  движение изображающей точки происходит слева направо в верхней полуплоскости  и справа налево в нижней полуплоскости;

При  значение , поэтому в точках пересечения фазовых траекторий с осью абсцисс  касательные к ним перпендикулярны к оси

Если уравнение (9.2) трудно проинтегрировать, то фазовые траектории можно построить по методу изоклин. Изоклины представляют собой  геометрическое место всех точек фазовой плоскости, для которых наклон фазовой траектории равен постоянному значению . Пусть, например, , тогда вместо (9.2) можно записать уравнение:

,

Из которого получается уравнение изоклины

Где  - угловой коэффициент изоклины.

Задаваясь различными постоянными значениями наклона , можно построить семейство изоклин, каждая из которых имеет угловой коэффициент  для данной системы. Семейство изоклин используется для построения фазовых траекторий с различными начальными условиями при помощи отрезков прямых, направленных в соответствии с наклоном, определяемым изоклинами.

Рис. 9.2

Лекция 10

Задача.

Величины ограничений ; ; ; .

Характеристическое уравнение позволяет следить за свободным перемещением системы.

Приводим к общему знаменателю:

 т.к. на вход подается x

Преобразуем операт. Уравнение в дифференциальное:

Фазовая плоскость описывается:

Разделим  первое уравнение на втрое:

Рис.10.1

1.  ;

2.  ;

3.  ;

Рис. 10.2 Фазовая плоскость

1. 
2.                                 
3. 

Они описывают три уравнения листа.

Если проинтегрировать  эти уравнения, то получиться движение у от х

Способы:

1. Прямое интегрирование дифференциального уравнения с целью получения уравнений кривых
2. Способ изоклин.

Изоклина – линия фазовой плоскости через которую проходит все фазовые траектории проходящие с одним наклоном к оси

Чтобы получить изоклину: нужно

Уравнение изоклины:

Для второй изоклины (2-го уравнения):

Угол наклона от стартовой точки выбирается самостоятельно.

При переходе с листа на лиcт происходит переход переменных (постоянных)

Лекция11

Рассмотрим нелинейный элемент в виде петли гистерезиса:

Петля гистерезиса                                                  Картина фазовых траекторий

S- предельные значения функции;                      Увеличение сигнала соответствует   y>0на

u- зона линейности;                                            уровне +U_1. Данная картина показывает, что в                данной системе протекает процесс установившихся колебаний и при малых начальных отклонениях процесс является расходящимся, а при больших-сходящимся.

  

Предположим:

            можем сделать оценку A и  A=

С нелинейными элементами вида гистерезиса чаще всего возникают установившиеся колебания.

Рассмотрим трехпозиционное реле, если  реле имеет зону нечувствительности, то его нелинейную характеристику можно разделить на три участка:

1. ; ;
2. ; ;
3. ; ;

Дифференциальные уравнения фазовых траекторий будут иметь вид:

1. 

2.   ;

3.   ;                      Фазовый портрет:

                                

 

Построение переходного процесса по фазовой траектории.

Состояние автоматической системы в любой момент времени может быть охарактеризовано значениями рассматриваемой переменной и (n-1) ее производных. Каждому определенному переходному процессу автоматической системы в фазовом пространстве соответствует определенная траектория движения изображающей точки(точка, соответствующая состоянию системы в фазовом пространстве).Начальное положение изображающей точки определяется начальными условиями свободного движения системы. При равновесии системы все производные рассматриваемой переменной равны нулю; соответствующие этому точки фазового пространства называются особыми. Наиболее наглядно фазовые траектории могут быть представлены на фазовой плоскости.

Задача:

Оценить качество и время переходного процесса, соответствующего свободному движению системы.