Модели непрерывных объектов и их дискретизация в среде Matlab: Методические указания к лабораторным работам по курсам: “Микроэлектронные и микропроцессорные управляющие и информационные устройства”, “Микропроцессорные системы управления в электроприводе”, страница 2

где U_я - напряжение на якоре двигателя;

U_у, k_п, Т_п –  соответственно напряжение на входе, коэффициент преобразования и постоянная времени управляемого источника энергии.

Электрические процессы в якорной цепи двигателя моделируются дифференциальным уравнением равновесия напряжений:

U_я(t)-E(t)=R_яI_я(t)+L_яdI_я/dt,                                          (2.2)

где  E - противо-ЭДС обмоток якоря;

I_я  - ток якорной  цепи;

R_я - активное сопротивление якорной цепи;

L_я - индуктивность якорной цепи.

Механическая  составляющая электромеханической системы описывается уравнением движения

,                                 (2.3)    где M=cфI_я,                                                                                      (2.4)

J - момент инерции электромеханической системы с учетом объекта управления;

W - скорость вращения вала двигателя;

с – конструктивная постоянная двигателя;

Ф – магнитный поток двигателя;

M_c – момент нагрузки двигателя; причем скорость w и ЭДС двигателя связаны соотношением:

E=cф.                                                                          (2.5)

Соотношения (2.1)…(2.5) представляют собой непрерывную математическую модель электромеханической системы, причем дифференциальные уравнения (2.1), (2.2) и (2.3) отображают динамические процессы, а алгебраические уравнения (2.4) и (2.5) – статические связи между переменными электромеханической системы.

3. Цифровая модель непрерывного объекта в уравнениях состояния

Разрешив уравнения (2.1), (2.2) и (2.3) соответственно относительно производных скорости, тока и напряжения на якоре двигателя, с учетом соотношений (2.4) и (2.5), получим систему непрерывных уравнений, представляющих собой модель электромеханической системы в нормальной форме Коши:

,                                             (3.1) 

,                            (3.2)

,                                                  (3.3)

где Т_я=L_я/R_я - постоянная времени якорной цепи двигателя.

С целью масштабирования и обобщения результатов исследований для систем с различными числовыми характеристиками введем относительные значения переменных:

.

где , , - соответственно номинальное напряжение на якоре двигателя, номинальный ток и номинальная скорость двигателя. Используя введенные соотношения уравнения (3.1), (3.2) и (3.3) перепишем в относительных единицах:

,

,

, где T_м = ,  – соответственно электромеханическая постоянная времени и коэффициент отношения тока короткого замыкания к номинальному току двигателя.

Правые части последних уравнений дополним недостающими переменными, входящими в левые части системы уравнений. Причем переменные введем в том порядке, в котором они появляются в левых частях уравнений. Чтобы сохранить справедливость уравнений добавленные переменные умножим на нулевые коэффициенты:

                     (3.4) 

,                      (3.5)

.                      (3.6)

Перепишем систему уравнений (3.4), (3.5) и (3.6) в обобщенной форме, используя замену переменных u_я=x₁, i_я=x₂, w=x₃ и вводя новые обозначения для коэффициентов:

                (3.7) 

,              (3.8)

,              (3.9)

где ,

, .

Система уравнений (3.7), (3.8) и (3.9) называется уравнениями состояния, а cовокупность переменных x₁ x₂ x₃ – переменными состояния. Кроме того, уравнения состояния дополняются уравнениями выхода, связывающие переменные состояния с физическими координатами системы:

y₁=u_я, y₂=i_я , y₃=w.                                                                                    (3.10)

Чтобы, используя среду Matlab, создать модель объекта в пространстве состояния, необходимо привести уравнения состояния (3.7), (3.8) и (3.9) и выхода (3.10) к стандартному векторно-матричному виду:   

                                                  (3.11)

где ^T - вектор  состояния,

y  - вектор выхода,  

U = [U₁ U₂]=[u_y  i_c]  - вектор входных воздействий,

A и C – соответственно матрицы коэффициентов при переменных состояния x уравнений состояния и уравнений выхода,

B и D – соответственно матрицы коэффициентов при входных воздействиях U уравнений состояния и уравнений выхода.

Вид матриц A, B, C и D зависит от числа переменных состояния n, входов p и выходов q. Для определения размерностей матриц и векторов удобно воспользоваться таблицей на рис.3.1.

n     

q