Математика \ Высшая математика

Примеры и рекомендации по выполнению контрольных работ 4-6 по курсу «Высшая математика» (Приложение производной. Дифференциальные уравнения), страница 3

Объем тела, образованного вращением вокруг оси  Ох плоской области, ограниченной прямыми  х=а, х=b, y=0 и графиком функции y=f(x) ³ 0 при  a £ x £ b, находится по формуле:


            у

 


                       а               b        х


Если плоская область, ограниченная линиями у=с, y=d, x=0, x=j(y) вращается вокруг оси Оу,  то объем полученного тела находится по формуле


                        у

                      d

 


                       с

                                               х

 



Длина кривой L в зависимости от способа ее задания определяется следующими формулами


 а)                y

 


y=f(x)

 


                        a                b        x

 б)           y

           y(b)

           y(a)

                        x(a)        x(b)      x

                             r=r(j)

                 b

                          a

 


Примеры.


1.  Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение.


2.  Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями:



Решение.


3. Вычислить длину дуги кривой  при.



 у

                           

х

Решение.   Найдем=

=


Контрольная работа 6

Тема: Дифференциальные уравнения

Задания 1, 2 (321-340). Найти общее решение дифференциаль-ного уравнения.

Указания к решению задания 1. В №№ 321-330 требуется решить дифференциальное уравнение 1-го порядка (ДУ-1). Это либо уравнения с разделяющимися переменными, либо однородные, либо линейные. Сначала следует проверить, является ли ДУ-1 уравнением с разделяющимися переменными, то есть нельзя ли представить его в виде:  y¢=f(x)×g(x). Если это возможно, то уравнение записывается в разделенной форме

и затем интегрируется каждая часть равенства отдельно.

Если уравнение не является уравнением с разделяющимися переменными, то надо проверить, не будет ли оно однородным. Для этого надо записать ДУ-1 в виде y¢=f(x, y) и затем в правую часть равенства вместо х  подставить tx, а вместо у подставить ty. Если при этом t  сократится, то есть получится f(tx, ty)=f(x, y), то уравнение является однородным. В этом случае производят замену

, после чего ДУ-1 становится уравнением с разделяющимися переменными относительно новой функции z=z(x) . Это уравнение решают, а затем производят обратную замену.

Если в ДУ-1  y¢и у  входят в первой степени и между собой не перемножаются, то такое уравнение называется линейным. Его можно записать в виде y¢+p(x)y=q(x) . Для решения этого уравнения функцию у представляют как произведение функций y=u×v , которые определятся из решения следующей системы ДУ-1

Каждое из этих уравнений является ДУ-1 с разделяющимися переменными. Сначала из первого уравнения находим v , затем, подставляя v , без учета произвольной постоянной во второе уравнение находим u .

Примеры :   1.    .

Решение.  Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными:

Ответ: .

2.  

Разрешим относительно  у¢:       .

Это уравнение не является уравнением с разделяющимися перемен-ными. Проверим его на однородность:

.

Условие однородности выполнено, поэтому подставляем в уравнение замену .

Вычислим первый интеграл

Приравняем полученное выражение к интегралу от правой части уравнения     . Возвращаемся к искомой функции  у: 

3. 

Видно, что у и у¢входят в уравнение в первой степени, поэтому уравнение - линейное. Делаем замену y=u×v,  y¢=u¢×v+u×v¢. Тогда получаем

Решаем первое уравнение

Подставляем во второе

Ответ:

Указания к решению задачи 2. В №№ 331-346 для решения предлагаются   дифференциальные  уравнения  2-го  порядка (ДУ-2): F(x, y, y¢, y² )=0, которые допускают понижение порядка, что позволяет свести их к решению двух ДУ-1. При этом имеют место два случая :

Скачать файл