Примеры и рекомендации по выполнению контрольных работ 4-6 по курсу «Высшая математика» (Приложение производной. Дифференциальные уравнения), страница 2

-1             0

Из рисунка следует, что на  функция убывает, а на интервале  - возрастает. Точка х=0 является точкой локального минимума, у_min(0)=1.

6.

 при любом х ; не определена при х=-1. Исследуем знак

		-1

 

Поэтому на интервале  график выпуклый, а на интервале - вогнутый. Точек перегиба нет.

7. Определим еще несколько дополнительных точек графика

х	-4	-2	-1,5	-0,5	1	3
у	-0,006	-0,13	-0,4	1,2	1,3	5

Исходя из полученных данных строим график.

Контрольная работа 5

Тема: Неопределенный и определенный интегралы.

Задание 1. (281-290) Найти неопределенные интегралы. В п. а) и б) результаты проверить дифференцированием.

Указания к решению. В п. а) следует использовать прием подведения под знак дифференциала, например,

, × и т. д.

В п. б) необходимо использовать формулу интегрирования по частям  

В п. в) применяется метод интегрирования рациональных дробей. Этот метод рассмотрен в примере. В п. г) применяется формула замены переменной в неопределенном интеграле:

При решении задач надо использовать следующие правила интегрирования:

Приведем также таблицу основных интегралов:

Примеры.     1.  .

Решение.

Решение

3. .

Решение.        Разложим знаменатель на множители:

, тогда

.

Приведем правую часть к общему знаменателю и приравняем числители левой и правой частей:

     Так как  х=0   и    х=1  являются корнями знаменателя, то удобно придать эти значения  х  в последнем равенстве.

При  х=0  имеем    1= - А , то есть А =-1.

При  х=1  имеем    1=3С , то есть   С = .

Перепишем равенство в виде

и приравняем коэффициенты при х⁴, х³  и  х²  в правой и левой частях равенства

Из этой системы найдем:   Итак

Следовательно,

4.

Решение. Сделаем замену , тогда ,

, поэтому

 

Задание 2. (301-310). Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

Указания к решению. Несобственными интегралами  I-го  рода называются интегралы с бесконечными пределами. К таким интегралам относятся интегралы вида

Эти интегралы вычисляются по формулам

Где       уже не является несобственным интегралом.

При этом, если пределы в правых частях формул существуют и конечны, то говорят, что соответствующие интегралы сходятся, а если пределы не существуют или бесконечны, то говорят, что интегралы расходятся.

Интеграл       называется несобственным интегралом П-го рода, если функция  f(x) имеет разрыв типа ¢¢бесконечность¢¢ на отрезке   [a; b].   Пусть  этот  разрыв  происходит в точке  х=с  (с может совпадать с а  или b ). Тогда вычисление интегралов происходит по формуле

где на отрезках [a; c-d] и  [c+e; b]  функция f(x) является непрерывной. Если с=а, то формула примет вид

а в случае  c=b  вид

Во всех формулах  e>0   и    d>0. Сходимость и расходимость определяется теми же условиями, что и для несобственных интегралов I-го рода.

Примеры.                 1. 

Решение .

-интеграл сходится.

2.   .

Решение.  Функция  терпит бесконечный разрыв на отрезке  [-1; 1] в точке х=0, поэтому

-интеграл расходится.

Задание 3. (311-320). Решить задачу на приложение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур, объемов тел вращения или длин дуг кривых.

Указания к решению. Площадь плоской фигуры, ограниченной прямыми х=а  и  х=b  и графиками функций

находится по формуле (см. рис.)