Элементы теории случайных процессов и случайных потоков, страница 3

Например, рассматривая поток сбоев ЭВМ, очевидно предположить, что вероятность наступления только одного сбоя в течение малого интервала времени (одной миллисекунды) значительно превышает вероятность наступления в данном интервале времени двух или большего числа сбоев. В случае снижения напряжения питания ЭВМ поток ее сбоев перестанет удовлетворять свойству ординарности, поскольку станут возможны одновременные сбои нескольких подсистем ЭВМ (памяти, процессора, контроллеров, шин и т.д.).

Другим примером ординарных потоков являются потоки вызовов в сетях связи. А при обработке телеграмм оператором возможна неординарность, поскольку передача телеграмм между узлами связи и их обработка осуществляется партиями.

Случайный поток событий, обладающий одновременно тремя вышеперечисленными свойствами (стационарность, ординарность, отсутствие последействия), называется простейшим (или пуассоновским) случайным потоком. Простейший поток событий (ППС) характеризуется только интенсивностью l, которая, в силу стационарности ППС, постоянна (l = const) и равна среднему числу событий потока, наступающих в единицу времени в соответствии с выражением (79).

Замечание 1 – Пример 36 дает эквивалентное определение простейшего потока событий с интенсивностью l₀.  ¨

Замечание 2 – Простейшие потоки событий играют особую роль в теории вероятностей, теории массового обслуживания и теории надежности. Во-первых, указанными свойствами обладает значительная часть реальных случайных потоков событий. Во-вторых, суперпозиция большого числа ординарных, стационарных потоков с любым последействием образует поток, сколь угодно близкий к ППС. В-третьих, методы исследования ППС в настоящее время разработаны достаточно полно.  ¨

1.5.3 Распределение количества событий простейшего потокана некотором временном интервале

Выделим на оси времени отрезок длины T и рассмотрим дискретную случайную величину h – число событий ППС, попавших в этот отрезок. Очевидно, что h = 0, 1, 2, 3,… . Вычислим вероятность того, что на отрезок T  придется ровно k событий ППС. Для этого разобьем отрезок T на n®¥ элементарных участков длины dt®0 (рисунок 46).

Рисунок 46 – Простейший поток событий

В силу ординарности ППС пренебрежем вероятностью попадания на один элементарный участок  dt  сразу нескольких событий. В силу стационарности и отсутствия последействия ППС, вероятность попадания одного события потока на элементарный участок dt  не изменяется и не зависит от того, как события потока наступали в прошлом.

Следовательно, наступление событий в каждом из n элементарных участков можно рассматривать как схему n®¥ испытаний Бернулли, где «успех» – попадание события ППС в некоторый элементарный участок dt, вероятность «успеха» p®0. Поскольку в данном случае число испытаний Бернулли велико, а вероятность успеха стремится к нулю, то количество событий ППС h на временном интервале T имеет распределение Пуассона (см. п. 1.2.9) с параметром l_h , т.е. h ~ П(l_h). Учитывая, что параметр распределения Пуассона равен математическому ожиданию случайной величины h (l_h = M[h], см. выражение (38)), а также учитывая выражение (79), получим:

                  (80)

Таким образом, распределение числа событий h ППС, произошедших в течение временного интервала T , имеет распределение Пуассона с параметром  lT , где l – интенсивность ППС.

Замечание – Случайная величина x времени между событиями ППС имеет показательный закон распределения с параметром l, равным интенсивности ППС. Действительно, выполнение свойства отсутствия последействия (которое заключается в том, что время ожидания очередного события потока не зависит от того, сколько и как давно наступали предыдущие события) возможно при выполнении свойства «отсутствия памяти» у величины x времени между событиями потока, которым обладает только показательный закон распределения (см. п. 1.2.11). ¨