Элементы теории случайных процессов и случайных потоков, страница 2

Если случайные величины x_i  независимы и имеют одинаковые законы распределения, то соответствующий им случайный поток называется рекуррентным случайным потоком событий.

Важной характеристикой случайных потоков событий является интенсивность потока. Интенсивностью l(t) рекуррентного потока событий в момент t называется предел отношения вероятности того, что в интервале времени [t ; t+Dt) наступит очередное событие (хотя бы одно), которое к моменту времени t еще не наступило, к длительности указанного интервала при его стремлении к нулю. Если x_i = x – время ожидания очередного события рекуррентного потока, то

 .               (77)

Применяя теорему умножения вероятностей зависимых событий {t £ x < t+Dt} и {x ³ t} (10), а также определение функции распределения (26) и функции плотности распределения (27) случайной величины x, получаем:

       (78)

Пример 36

Определим интенсивность l(t) рекуррентного потока, время между событиями которого имеет показательный закон распределения с параметром l₀.

Учитывая вид функции F(t) и функции плотности f(t) показательного распределения (44)–(45), получим выражение

Таким образом, интенсивность рекуррентного потока, время между событиями которого имеет показательный закон распределения с параметром l₀ , не изменяется во времени и равна значению параметра показательного распределения l₀ , т.е. обратно пропорциональна математическому ожиданию времени между событиями потока.  ¨

Рассмотрим случайные потоки событий, обладающие некоторыми свойствами.

Случайный поток событий называется стационарным, если вероятность наступления некоторого числа событий на интервале времени T зависит только от длительности интервала T и не зависит от того, где именно на оси времени он расположен.

Например, поток посещений Internet-сервера является стационарным, поскольку распределение числа подключений в течение некоторого промежутка времени практически не зависит (не изменяется) от расположения данного промежутка на оси времени. В противоположность этому, поток требований на АТС имеет явно выраженный нестационарный характер. Число требований, поступающих в единицу времени, существенно зависит от времени суток (и даже дня недели). Однако внутри суток всегда можно выделить одно- или двухчасовые промежутки, в течение которых поступающий поток вызовов близок к стационарному.

Интенсивность стационарного потока постоянна во времени и оценивается (помимо соотношений (77) и (78)) выражением

,        (79)

где M[h] – математическое ожидание числа событий h стационарного потока в течение большого интервала времени T.

Случайный поток событий называется потоком без последействия, если для любых неперекрывающихся участков времени вероятность попадания некоторого числа событий на один из них, не зависит (не изменяется) от числа событий, попавших на другие интервалы времени.

Например, поток посещений Internet-сервера является потоком без последействия, поскольку распределение числа подключений в течение некоторого промежутка времени практически не зависит (не изменяется) от того, сколько раз и каким образом данный сервер посещался пользователями в предшествующие промежутки времени.

Поток же студентов в гардероб университета, очевидно, не обладает свойством отсутствия последействия, потому, что количество студентов, спускающихся в гардероб в интервале времени (7⁵⁰; 7⁵⁵) зависит от того, сколько студентов посетило гардероб в интервале времени (7⁴⁵; 7⁵⁰). Если в первом интервале студентов было много, то во втором интервале (в силу ограниченности контингента) их будет меньше, и наоборот.

Случайный поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на элементарный участок Dt®0 двух и более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания только одного события, т.е. P(k = 1)  >> P(k > 1). Свойство ординарности означает практическую невозможность группового наступления событий.