Основы метода конечных элементов, страница 7

Здесь

⎛ (l )

⎜

⎜

⎝

(l )

⎞

⎟

⎟

(l )      ⎟

⎠

⎛ lx

⎜

mx         nx  ⎞

⎟

⎝ lz

my         ny  ⎟

матрица  ориентации  местной  системы  координат  относительно  общей.

Ее  элементами  являются  значения  направляющих  косинусов.  При  уменьшении  числа  узловых  перемещений  одномерного  конечного  элемента  соответствующим  образом  может  изменяться  структура  матрицы     (T) ,  а часть элементов матрицы ориентации принимать нулевые значения.

12.2.5. Общая схема использования метода конечных элементов

Метод конечных элементов в форме метода перемещений включает следующие основные этапы:

1.  Разбиение конструкции на конечные элементы, задание геометриче- ских и жесткостных параметров каждого элемента, определение по- ложения узловых точек в общей системе координат.

2.  Формирование вектора эквивалентной узловой нагрузки.

3.  Нахождение  матриц  жесткости  конечных  элементов  в  местной  системе координат.

4.  Формирование матрицы преобразования координат.

5.  Определение матриц жесткости конечных элементов в общей системе координат.

6.  Получение матрицы жесткости для всей конструкции и подчинение ее условиям опирания конструкции.

7.  Нахождение узловых перемещений конструкции.

8.  Определение параметров напряженного состояния элементов конструкции.

12.5. Резюме

Основная  идея  метода  конечных  элементов  состоит  в  том,  что  рас- считываемая  строительная  конструкция  заменяется  совокупностью  неко- торых  элементов,  соединенных  между  собой  и  с  основанием  в  конечном числе точек. При этом внешняя нагрузка заменяется системой эквивалент- ных узловых сил.

Базовыми  конечными  элементами,  на  которые  могут  разбиваться различные конструкции, являются одномерные, двухмерные и трехмерные элементы.

Конечные  элементы  характеризуются  числом  узлов  и  числом  узло- вых  реакций.  Число  узлов  конечного  элемента  зависит  от  его  формы  и мерности. Число узловых реакций у конечного элемента одного и того же типа   может быть различным и зависит от вида его напряженного состоя- ния.

Метод конечных элементов является одним из наиболее распростра- ненных численных методов, применяемых для расчета строительных кон- струкций, и он имеет две разновидности – в форме метода сил и в форме метода перемещений. В расчетной практике                                                                              преимущественно использу- ется метод конечных элементов в форме метода перемещений.

Расчет  методом  конечных  элементов  в  форме  метода  перемещений основан на использовании матрицы жесткости конструкции. Такая матрица формируется на основе матриц жесткости конечных элементов, на которые разбита конструкция.

Элементами  матриц  жесткости  конечных  элементов  являются  единичные узловые реакции. Их число может быть различным в зависимости от вида напряженного состояния одномерного конечного элемента.

12.6. Материалы для самоконтроля

Проверьте, как Вы усвоили следующие понятия, определения, алгоритмы и формулы:

-   суть метода;

-   конечный элемент;

-   узел;

-   типы конечных элементов;

-   вектор перемещений конструкций;

-   вектор нагрузки конструкций;

-   матрица жёсткости конструкций;

-   вектор перемещений конечного элемента;

-   матрица жёсткости конечного элемента.

Проверьте, как Вы умеете:

-   разбивать конструкцию на конечные элементы;

-   нумеровать конечные элементы, узлы и узловые перемещения в общей системе координат;

-   составлять вектор перемещений для конструкции;

-   составлять вектор перемещений для узла;

-   составлять матрицу жёсткости для конструкции;

-   составлять блоки матрицы жёсткости для конструкции;

-   нумеровать узлы и узловые перемещения для конечного элемента в местной системе координат;

-   составлять вектор перемещений для конечного элемента;

-   находить элементы матриц жёсткости.