Введение в теорию расчета статически неопределимых систем

М-7. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ РАСЧЕТА СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ

7.0. Введение в модуль

Основными целями модуля являются:

-  рассмотрение понятия степени статической неопределимости;

-  знакомство с разновидностями статически неопределимых стержневых конструкций;

-  знакомство со свойствами статически неопределимых стержневых конструкций;

-  знакомство с общей и частной задачей расчета статически неопределимых стержневых конструкций;

-  выяснение сути решения частной задачи расчета статически неопределимых стержневых конструкций методом сил.

Структура изучаемого модуля включает следующие учебные элементы:

1. Степень статической неопределимости.

2. Свойства статически неопределимых стержневых систем.

3. Основная  и  частная  задачи  расчета  статически  неопределимых систем.

4. Сущность метода сил.

При изучении учебных элементов рекомендуется использование сле- дующей  литературы:  [1,  c.  309  –  316];  [3,  c.193-199];  [4,  c.197  –  202];  [5, c.233 – 238].

7.1. Степень статической неопределимости

7.1.1. Связь с числом степеней свободы

Расчетная  схема  стержневой  конструкции  считается  статически  не- определимой  системой,  если  уравнений  статики  недостаточно  для  одно- значного  определения  опорных  реакций  и  внутренних  усилий,  возникаю- щих в конструкции при произвольной статической нагрузке.

Как было установлено ранее, статически неопределимые стержневые конструкции всегда являются геометрическими неизменяемыми системами с  избыточным  числом  связей.  Необходимым  количественным  признаком

такой  разновидности  геометрической  неизменяемости  конструкции  является следующее соотношение для числа степеней свободы

W < 0 .

Следовательно, количество лишних или избыточных связей в конструкции, которые можно удалить, сохраняя ее геометрическую неизменяемость, равняется

Л = -W .                                                 (7.1)

Число таких связей называется степеньюстатическойнеопредели- мости. Эта величина является важной количественной характеристикой, с помощью которой принято различать статически неопределимые стержне-

вые конструкции. Например, при

Л = 1

конструкция называется один раз

статически  неопределимой,  при

Л = 2

-  два  раза  статически  неопредели-

мой  и  так  далее.  Чем  выше  степень  статической  неопределимости,  тем сложнее расчет стержневой конструкции.

7.1.2. Влияние замкнутых контуров

Если для стержневой конструкции, имеющей вид замкнутого контура  и  опертой  по  балочной  схеме  (рис.7.1.а),  определить  число  степеней свободы,

Рис. 7.1

то получим W=0. Следовательно, напрашивается вывод, что у нее отсутст- вуют  лишние  связи,  а  конструкцию  можно  считать  статически  определи- мой системой.

Однако попытаемся найти внутренние усилия в сечении 1, используя метод сечений и уравнения равновесия для системы сил, произвольно расположенных на плоскости.  Тогда согласно схеме, показанной на рис.7.1.б,

получим, что в три уравнения равновесия, кроме трех интересующих нас внутренних усилий в сечении 1, входят ещё три неизвестных внутренних усилия M2,Q2,N2, связанных с удалением связей в сечении  ригеля. Следо- вательно,  одних  уравнений  равновесия  для  определения  всех  внутренних усилий недостаточно и конструкция трижды статически неопределимая.

Таким образом, можно сделать вывод, что замкнутый контур допол- нительно приносит три лишние связи. В общем случае, когда конструкция состоит только из K замкнутых контуров, то её степень статической неоп- ределимости определяется по формуле

Л= 3K .                                                               (7.2)

В  том  случае,  когда  замкнутый  контур  разрезается  шарниром,  то число лишних связей уменьшается на единицу. Поэтому для конструкции, состоящей из K замкнутых контуров с общим числом врезанных шарниров

Ш, степень статической неопределимости определяется по формуле

Л= 3K - Ш.                                                    (7.3)

При  подсчете  числа  шарниров,  входящих  в  (7.3),  учитывается  сте- пень  их  кратности.  Степень  кратности  шарнира,  разрезающего  одновре- менно несколько замкнутых контуров, равняется числу стержней замкну- тых  контуров,  примыкающих  к  такому  шарниру,  минус  один.  Например, для  шарнира,  показанного  на  рис.  7.2,  степень  его  кратности  равняется двум

Рис. 7.2

Таким  образом,  в  общем  случае,  когда  стержневая  конструкция включает участки, как содержащие замкнутые контуры, так и не содержа- щие их, степень статической  неопределимости конструкции определяется по формуле

Л= -W+ 3K - Ш.                                                                      (7.4)