Расчёт переходного процесса в электрической цепи, страница 4

      где с_,, с₂,…, с_n – произвольные постоянные; G – функция указанных аргументов.

         Решения, получившиеся из общего решения (2) при фиксированных значениях с_,, с₂,…, с_n, называется частным решением уравнения (1). Чтобы выделить из общего решения (2) частное решение, необходимо задать n условий, которые единственным образом определили бы постоянные с_,, с₂,…, с_n. Эти условия можно задать значениями искомой функции  и ее производных  в некоторой точке , т.е. значениями

                                  (3)

      В этом случае задача интегрирования уравнения (1) называется задачей Коши, а значения (3) – начальными значениями (условиями).

      В теории обыкновенных дифференциальных уравнений решение представляет собой некоторое аналитическое выражение , подстановка которого в уравнение (1) обращает последнее в тождество. Решить дифференциальное уравнение (1) численным методом  - это значит, для данной последовательности значений аргумента найти при к=0,1,2,,…,n значения  функции , являющейся аналитическим решением уравнения (1), т.е. удовлетворяет интегралу (2). Таким образом, численное решение дифференциального уравнения (1) сводится к построению для функции , являющейся решением уравнения (1), таблицы значений, соответствующей заданной последовательности значений аргумента. Аналитическое выражение для функции  при этом, как правило, неизвестно, а в большинстве случаев не может быть найдено в конечном (замкнутом виде).

Величина  называется шагом интегрирования. Шаг интегрирования является переменным, если для различных h величина h_k различна. Если , то говорят, что интегрирование ведется с постоянным шагом. В случае  при  k=0,1,2,…, n.

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка. Пусть дано дифференциальное уравнение вида

                                                                                                             (4)

Для заданных значений аргумента x₁, x₂,…, x_n, расположенных в порядке монотонного изменения, требуется вычислить при k=1,2,…,n значения  функция , являющейся решением уравнения (4), если известно начальное значение

                                                                                                               (5)

Для решения этой задачи применялся метод Эйлера, где имеет место Формула

                                                                                          (6)

            погрешность которой 

                                                                                (7)

Погрешность метода Эйлера, как видно из формулы (7), на каждом шаге очень велика. Поэтому на практике методом Эйлера пользуются редко. Значительно чаще для решения задачи (4) и (5) пользуются методом Рунге-Кутта.