Определенный интеграл и его приложения, страница 6

= 8π.

4. Приложения определённого интеграла к решению некоторых задач физического содержания

4.1. Вычисление пройденного пути по скорости

Пусть - скорость движения материальной точки по прямой. Тогда путь S, пройденный этой точкой за время t (t), вычисляется по формуле

(1)

Пример 1.

Некоторое тело движется прямолинейно со скоростью . Найти путь, пройденный телом за 3 секунды после начала движения.

Решение.

По формуле (1) имеем:

4.2. Вычисление работы переменной силы

Пусть некоторое тело движется по прямой l под действием переменной силы . Работа этой силы на участке пути вычисляется по формуле

(2)

Пример 2.

Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы растянуть пружину на 20 см, если известно, что для удлинения её на 1 см нужно приложить силу в 1 кН.

Решение:

Согласно закону Гука, сила растяжения пружины пропорциональна её растяжению, т.е. где растяжение пружины (в метрах), коэффициент пропорциональности.

Т.к. по условию при м сила , то из равенства получаем . Следовательно, искомая работа

4.3. Вычисление силы давления жидкости на пластину

Решение данной задачи покажем на примере.

Пример 3.

Вычислить силу давления воды на пластину, вертикально погруженную в воду, считая что удельный вес воды равен 9,81 размеры и расположение пластины указаны на рисунке.

Решение.

Задаём систему координат относительно пластины.

Простейшее уравнение параболы в данном случае имеет вид Т.к. парабола проходит через т. А(0,5;-1), то находим p:

т.е. уравнение параболы

Выделим на глубине горизонтальную полоску шириной и площадью . Давление воды на эту полоску

Тогда давление воды на всю пластину

При Н=0,5м и =9,81 получаем:

4.4. Вычисление координат центра масс плоской фигуры

1. Координаты центра масс плоской линии.

Рассмотрим дугу АВ графика функции имеющую линейную плотность Координаты центра масс С(x_c, y_c) такой дуги вычисляются по формулам:

(4)

2. Координаты центра масс плоской фигуры.

Рассмотрим фигуру, ограниченную снизу линией сверху - т.е. на отрезке поверхностная плотность фигуры Центр масс такой фигуры вычисляется по формулам

Пример 4.

Найти координаты центра масс однородной фигуры, ограниченной линиями

Решение.

Из симметричности и однородности этой фигуры очевидно, что Определим по формуле

5. Несобственные интегралы

5.1. Основные понятия

Несобственными интегралами называются: 1) интегралы с бесконечными пределами; 2) интегралы от неограниченных функций.

Несобственный интеграл от функции от определяется равенством . Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся; если же этот предел не существует или равен бесконечности, - расходящимся. Аналогично: и .

Если функция имеет бесконечный разрыв в точке С отрезка и непрерывна при , то по определению полагают

Несобственный интеграл (где ) называется сходящимся если существуют оба предела в правой части равенства, и расходящимся, если не существует хотя бы один из них.

Пример 1.

Найти несобственный интеграл (или установить его расходимость)

Решение: т.к. подынтегральная функция чётная, то

таким образом, , поэтому несобственный интеграл сходится.

Пример 2.

Найти: (или установить его расходимость).

Решение: Подынтегральная функция при х=0 не существует, т.е. неограниченна, поэтому запишем

т.е. несобственный интеграл расходится

5.2 Признаки сравнения

При исследовании сходимости несобственных интегралов пользуются одним из признаков сравнения.

1) Если функции определены для всех и интегрируемы на отрезке , где , и если для всех , то из сходимости интеграла вытекает сходимость интеграла

причём

2) а) Если при функция является бесконечно малой порядка то интеграл сходится при и расходится при

б) Если функция определена и непрерывна в промежутке и является бесконечно большой порядка p по сравнению с при то интеграл сходится при и расходится при