Находим абсциссы точек пересечения прямой с параболами
и
Прямой
разобьём данную фигуру на две
части – ОАСО и САВС. Площадь S
данной фигуры равна сумме площадей этих частей:
2. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой, заданной в параметрической форме
Если кривая АВ, ограничивающая криволинейную
трапецию
задана параметрическими
уравнениями
То площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле:
(4′)
Кроме
того функции должны удовлетворять следующим
условиям:
1)
непрерывна и неотрицательна на
2)
имеет непрерывную производную на
3)
знакопостоянна на
или
если
и
если
Пример 5.
Вычислить
площадь фигуры, ограниченной эллипсом
Решение.
Запишем параметрические уравнения эллипса:
Учитывая свойства симметрии фигуры и формулу (4) получаем
Заметим,
что пределы интегрирования были найдены по формулам (4′):
3. Площадь криволинейного сектора
Иногда кривая может быть задана не в прямоугольной
системе координат, а в полярной, уравнением
Площадь криволинейного сектора OM1M2, ограниченного дугой такой кривой и двумя полярными радиусами OM1 и OM2, соответствующими значениям 𝜑1 и 𝜑2 полярного угла, вычисляется по формуле:
(5)
Пример 6. Найти площадь кардиоиды
Решение.
Кардиоида это кривая, описываемая
произвольной точкой окружности круга диаметром a,
катящейся без трения и скольжения по неподвижной окружности того же диаметра.
Из соображений симметрии и по формуле (5) получаем:
3.2 Вычисление длины дуги плоской кривой
1. Длина дуги кривой, заданной в прямоугольных
координатах.
Пусть дуга АВ плоской кривой задана уравнением y=f(x), где f(x) – непрерывно дифференцируемая функция. Тогда длина дуги АВ определяется по формуле
(6)
Пример 6.
Вычислить длину дуги кривой , абсциссы концов которой х=1,
х=4.
Решение.
Т.к., согласно формуле (6) имеем:
.
В
случае, когда кривая задана параметрическими уравнениями x=(t),
y=ψ(t),
где
(t),
ψ(t) – непрерывно дифференцируемые
функции, длина дуги
вычисляется по формуле:
(7), где
и
–
значение параметра
соответствующие концам дуги А
и В, т.е.
(t0)
= a,
(T) = b.
Пример 7.
Вычислить длину дуги одной арки циклоиды , x=3(t
sin
t).
Решение.
Т.к. все арки циклоиды равны, рассмотрим первую ее арку, вдоль которой параметр t меняется от 0 до 2π.
Согласно формуле (7) имеем
Если кривая задана в полярных координатах уравнением
, то длина дуги М1М2
вычисляется по формуле
(8)
где
и
соответствует концам дуги М1
и М2.
Пример 8.
Вычислить
длину кардиоиды .
Решение. Находим
Т.к. кардиоида симметрична относительно полярной
оси, то найдём длину половины этой линии , изменяя полярный угол от 0 до π,
а затем удвоим результат. По формуле (8) получаем
3.3 Вычисление объёмов тел
1. Объём тела с заданным поперечным сечением
Пусть в системе координат OXYZ
имеется тело, ограниченное замкнутой поверхностью. Пересечём данное тело
плоскостью, перпендикулярной оси Ох, получим в сечении некоторую плоскую
фигуру с площадью
S=S(x).
Допустим, что функция S(x)
непрерывна на тогда объём V
данного тела вычисляется по формуле:
(9)
где
– площадь поперечного сечения,
соответствующего абсциссе х произвольной точки оси Ох, а
- абсциссы тех точек этой оси,
через которые проходят плоскости, ограничивающие тело в направлении оси Ох.
Пример 9.
Вычислить
объём тела, заданного уравнением
Решение.
Данное
тело является трёхосным эллипсоидом с полуосями
оно заключено между секущими
плоскостями, соответствующими значениям х=
2
и х=2. Сечение эллипсоида плоскостью, перпендикулярной к оси Ох,
представляет собой эллипс, уравнение которого имеет вид:
или
.
Полуоси этого эллипса будут
По известной формуле площади эллипса
находим
площадь поперечного сечения
По формуле (9) искомый объём будет равен
2. Объём тела вращения
а) Объем в прямоугольных координатах
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.