Определенный интеграл и его приложения, страница 2

Теорема существования определённого интеграла

Если функция f(x) непрерывна на , то предел интегральной суммы существует и не зависит от способа разбиения отрезка на элементарные отрезки и от выбора точек ξ.

Числа соответственно называются нижним и верхним пределами интегрирования.

Если f(x)>0 на , то определённый интеграл геометрически представляют собой площадь криволинейной трапеции – фигуры, ограниченной линиями y=f(x); x=a; x=b; y=0;

Основные свойства определённого интеграла

1. .

2. .

3. .

4. .

5. (c-постоянная).

6. :

если m ≤ f(x) ≤ M на , то m∙(b-a) <

Правила вычисления определённых интегралов

1. Формула Ньютона – Лейбница:

где - первообразная для , т.е.

F′(x)=f(x).

2. Интегрирование по частям

где u=u(x), v=v(x) – непрерывно дифференцируемые функции на отрезке .

3. Замена переменной.

где функция, непрерывная вместе со своей производной , на отрезке ; a=функция непрерывная на

4. Если - чётная функция, т.е. = , то

, если - нечетная, т.е. , то .

Примеры:

1) Вычислить определённый интеграл до двух знаков после запятой

dx + 3dx =

2) =

=x∙2∙

3).

Тогда: при х₁=0; t₁=tg0=0, при х₂ =, отсюда

3) =.

Тогда при x₁=0; t= arcsin 0 4=4

при x₂=0,5; t= arcsin 0,5 4 =

получим

5) т.к. подынтегральная функция нечётная

, то согласно четвёртому правилу .

Т.к. подынтегральная функция чётная, т.е. cos 2x=cos (2x), то можно также применить четвёртое правило вычисления, т.е.

2.Приближённое интегрирование

Вычисление определённого интеграла по формуле Ньютона – Лейбница не всегда возможно, т.к. в ряде случаев не удаётся выразить первообразную для функции f(x) через элементарные функции в конечном виде. Вычисление же определённого интеграла, исходящее из определения его (т.е. как предела интегральных сумм) часто является невыполнимым из-за технических трудностей. В таких случаях прибегают к приближённому вычислению определённых интегралов, тем более что на практике часто и не требуется знать точное значение данного интеграла.

Рассмотрим некоторые способы приближённого вычисления определённых интегралов.

1. Способ прямоугольников.