Электротехника \ Теоретические основы электротехники

Экзаменационные задачи по дисциплине "Теоретические основы электротехники", 3-я часть – электромагнитное поле (с ответами), страница 2

Билет №9. Прямолинейный длинный изолированный провод, по которому протекает ток I = 60A, расположен в воздухе параллельно плоской поверхности стальной плиты на расстоянии h = 2см от нее (рис.1). Относительная магнитная проницаемость стали . Требуется найти напряженность магнитного поля в точках и . Координаты точек и : ; ; ; .

Рис.1

Решение. Воспользуемся методом зеркальных изображений. Найдем фиктивный ток I₂ (рис.2):

В силу симметрии напряженность магнитного поля в точке - . Напряженность магнитного поля в точке -, где

;

Окончательно получим

, где , - единичные орты вдоль осей x и y.

Рис.2

Билет №10. Определить напряженность магнитного поля на оси цилиндрической катушки с током I. Длина катушки l, средний ее радиус , число витков (рис.1).

Рис.1

Решение. Цилиндрическая проволочная катушка, изображенная на рис.1,а, обычно называется соленоидом. Предположим, что обмотка соленоида распределена вдоль его длины плотно и равномерно, так что число витков обмотки на 1 м длины . И хотя в действительности ток идет по спирали, но если витков много и они расположены плотно друг к другу, можно этим пренебречь и рассматривать соленоид как совокупность колец с током.

Рассмотрим сначала вклад кольца с током, расположенного между радиусами, проведенными из т. А на оси z и образующими с осью z углы q и q + dq (т.е. определим напряженность поля в произвольной точке А на оси соленоида от названного кольца). Длина рассматриваемого кольца, выделенного на рис.1,б,

По этому кольцу протекает ток . Напряженность поля от этого тока в произвольной точке А

Подставляя в это выражение , найдем

Интегрирование в пределах от q₁ до q₂ дает

Для бесконечно длинного соленоида (а практически при ) q₁ = 0, q₂ = p, поэтому

Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше напряженность поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще. Это также видно из последнего выражения: магнитодвижущая сила Iw полностью уравновешивается магнитным напряжением H_zl внутри соленоида.

Полученные результаты можно распространить и на тороид. Вне тороида, т.е. за пределами обмотки тороида (как снаружи «бублика», так и внутри) Н = 0. На оси тороида

Билет №11. Катушка намотана в виде плоской спирали (рис.1) из большого числа w плотно уложенных витков, по которым течет постоянный ток I. Радиусы внутреннего и внешнего радиусов витков равны и b. Найти напряженность поля в центре катушки – точке О.

Рис.1

Решение. Вклад в результирующую напряженность от одного витка радиуса r

От всех витков

, где dw – число витков в интервале (r, r + dr),

Подставив значения Н₁ и dw в выражение для Н, найдем

Билет №11. Требуется рассчитать магнитное поле внутри, вне и в стенке ферромагнитной трубы, находящейся во внешнем однородном поле с индукцией В₀ (рис.). Проницаемость материала трубы . Определить коэффициент экранирования , где В₁ - индукция внутри трубы.

Рис.1

Решение. Так как в рассматриваемом объеме отсутствуют токи, то и МП потенциально. Вводя функцию скалярного магнитного потенциала () и применяя круговые цилиндрические координаты, решение уравнения Лапласа для

j_м можно представить в виде (выбирая j_м = 0 при r = 0):

1) при r £ r₁;

2) при r₁ £ r £ r₂;

3) при r ³ r₂;

Так как при r = 0 поле должно оставаться конечным, то С₂ = 0.

Труба заметно искажает внешнее однородное поле в точках, находящихся вблизи трубы. Вдали от трубы (r ® ¥) ее искажающее действие будет незаметно, и поле останется однородным, т.е. H = H_x = H₀ и j_3м = - H₀x = -H₀rcosa. Отсюда следует, что С₅ = -Н₀.