Изучение численного метода интерполяции кубическими сплайнами с различными видами граничных условий

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ. 6

1 ТЕОРИЯ КУБИЧЕСКИХ СПЛАЙНОВ.. 8

          1.1 Общие сведения. 8

           1.2 Обоснование использования кубических сплайнов. 9

2 ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ КУБИЧЕСКИМИ СПЛАЙНАМИ.. 10

           2.1 Интерполяционный кубический сплайн. 10

           2.2 Существование кубического сплайна. 12

           2.3 Построение кубического сплайна. 15

           2.4 Ограничения в крайних точках. 16

3 РЕАЛИЗАЦИЯ ВЫЧИСЛЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОГРАММНОГО ПАКЕТА MATHCAD.. 20

4 РЕАЛИЗАЦИЯ ВЫЧИСЛЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОГРАММНОГО ПАКЕТА MATLAB.. 32

5 ОПИСАНИЕ ПРОГРАММНОГО ПРОДУКТА.. 41

ВЫВОДЫ.. 51

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ.. 52

ВВЕДЕНИЕ

В данной работе рассматривается один из методов численного интерполирования. Аппроксимацией (приближением) функции f(x) называется нахождение такой функции F(x), которая была бы близка к заданной. Критерии близости функций f(x) и F(x) могут быть различные. Чаще всего используют точечную аппроксимацию. При этом функция f(x) как правило неизвестна, а связь между параметрами x и y задаётся в виде некоторой таблицы {,}. Эти значения - либо результаты расчетов, либо экспериментальные данные. Интерполяция – это частный случай аппроксимации. Интерполяция использует значения некоторой функции, заданные в ряде точек, чтобы предсказать значения функции между ними. Интерполяция сплайнами третьего порядка - это быстрый, эффективный и устойчивый способ интерполяции функций.
          В основе сплайн-интерполяции лежит следующий принцип. Интервал интерполяции разбивается на небольшие отрезки, на каждом из которых функция задается полиномом третьей степени. Коэффициенты полинома подбираются таким образом, чтобы выполнялись определенные условия. Общие для всех типов сплайнов третьего порядка требования - непрерывность функции и, разумеется, прохождение через предписанные ей точки.
          Основными достоинствами сплайн-интерполяции являются её устойчивость и малая трудоемкость. Интерполяция изображений происходит во всех цифровых фотографиях на определенном этапе, будь то дематризация или  масштабирование. Она происходит всякий раз, когда вы изменяете размер или развертку изображения из одной сетки пикселей в другую. Интерполяция происходит также каждый раз, когда вы поворачиваете или изменяете перспективу изображения. Сплайны относятся к неадаптированным алгоритмам, которые используют от 0 до 256 смежных пикселей для интерполяции. Чем более смежных пикселей они включают, тем более точными могут оказаться, но это достигается за счет значительного прироста времени обработки. Сплайны, сохраняют большинство информации об изображении после интерполяции, как следствие, он является исключительно полезным, когда изображение требует нескольких поворотов или изменений перспективы за отдельные шаги.

Цель работы: изучить численный метод интерполяции кубическими сплайнами с различными видами граничных условий.

Объект исследования: функция, заданная таблично.

Предмет исследования: метод интерполирования кубическими сплайнами.

Задачи исследования:

- изучить теоретические сведения;

- реализовать пошаговую вычислительную схему заданным методом;

- рассмотреть стандартные примеры решения поставленной задачи в среде MathCAD, MatLAB;

- разработать программный комплекс для решения поставленной задачи в среде пакета MatLAB;

- сделать выводы по заданному методу и полученным результатам решения  примера.

1 ТЕОРИЯ КУБИЧЕСКИХ СПЛАЙНОВ

1.1 Общие сведения

Сплайны позволяют эффективно решать задачи обработки экспериментальных зависимостей между параметрами, имеющих достаточно сложную структуру. Наиболее широкое практическое применение, в силу их простоты, нашли кубические сплайны. Основные идеи теории кубических сплайнов сформировались в результате попыток математически описать гибкие рейки из упругого материала (механические сплайны), которыми издавна пользовались чертежники в тех случаях, когда возникала необходимость проведения через заданные точки достаточно гладкой кривой. Известно, что рейка из упругого материала, закрепленная в некоторых точках и находящаяся в положении равновесия, принимает форму, при которой ее энергия является минимальной. Это фундаментальное свойство позволяет эффективно использовать сплайны при решении практических задач обработки экспериментальной информации.

В общем случае для функции y = f(x) требуется найти приближение y = ϕ(x) таким образом, чтобы f() = ϕ(x_i) в точках x = , а в остальных точках отрезка [a, b] значения функций f(x) и ϕ(x)были близкими между собой. При малом числе экспериментальных точек (например, 6-8) для решения задачи интерполяции можно использовать один из методов построения интерполяционных полиномов. Однако при большом числе узлов интерполяционные полиномы становятся практически непригодными. Это связано с тем, что степень интерполяционного полинома лишь на единицу меньше числа экспериментальных значений функций. Можно, конечно, отрезок, на котором определена функция, разбить на участки, содержащие малое число экспериментальных точек, и для каждого из них построить интерполяционные полиномы. Однако в этом случае аппроксимирующая функция будет иметь точки, где производная не является непрерывной, т.е. график функции будет содержать точки «излома».