Физика. Краткие сведения из теории. Часть 2

5. Груз А массы  поднимается по вертикальному стержню с помощью нерастяжимого троса, перекинутого через блок В пренебрежимо малых размеров, отстоящий от стержня на расстояние  (рис. 2.4). Трос наматывается на барабан с постоянной скоростью .  - коэффициент трения скольжения груза по стержню. Найти натяжение троса в точке А в зависимости от координаты поднимаемого груза . (5 баллов)

6. Материальная точка одета на неподвижное кольцо радиуса , закрепленное в горизонтальной плоскости (рис. 2.5). Коэффициент трения между точкой и кольцом равен . Какую начальную скорость  нужно сообщить точке, чтобы она могла совершить по кольцу полный оборот? (7 баллов)

7. Тонкий однородный стержень длины  помещен вертикально в воду в состояние покоя (рис. 2.6) так, что верхний конец стержня удален от поверхности воды на расстояние . Плотность материала стержня в два раза меньше плотности воды. Пренебрегая сопротивлением  воды, найти наибольшую высоту подъема верхнего конца стержня над поверхностью воды. (7 баллов)

8. Однородный горизонтальный диск массы  и радиуса  может без трения вращаться вокруг вертикальной неподвижной оси  (рис. 2.7). По диску движется материальная точка М массы  согласно уравнениям ,  в прямоугольных осях координат, жестко связанных с диском. В начальный момент времени угловая скорость диска . Найти угловую скорость диска в те моменты времени, когда точка М наиболее близка к центру диска и наиболее удалена от него. (10 баллов)

9. Однородный диск 1 массы  и радиуса  имеет цилиндрический выступ пренебрежимо малой массы (рис. 2.8). Невесомая и нерастяжимая нить охватывает ступени  диска 1 и однородный диск 2 массы  и радиуса . Найти угловое ускорение диска 1 при действии на него вращающего момента . Трением в оси вращения пренебречь. Проскальзывание нити по дискам и отклонение свободных участков нити от вертикали отсутствует. (6 баллов)

10. Из точки А с нулевой начальной скоростью по стержню АВ за счет сил взаимодействия со стержнем движется точка С (рис. 2.9) массы . Стержни расположены в вертикальной плоскости. Массы однородных стержней ОА и АВ равны  и  соответственно, масса ползуна В равна . Длина . Найти закон движения точки С, при котором стержни в указанном положении остаются неподвижными. Трением в шарнирах и направляющих ползуна пренебречь. (7 баллов)

11. Однородная квадратная пластина со стороной  (рис. 2.10) качается относительно горизонтальной оси, перпендикулярной плоскости пластины и проходящей через ее вершину, без трения. В какой точке пластины следует поместить точечную массу, чтобы закон движения пластины не изменился при сохранении тех же начальных условий? (6 баллов)

12. Однородный сплошной диск массы  и радиуса  лежит своей плоскостью на гладкой горизонтальной плоскости. По ободу диска движется материальная точка той же массы  со скоростью  относительно диска. В начальный момент времени система покоилась. Найти скорость центра диска. (7 баллов)

13. Два однородных соприкасающихся цилиндрических катка катятся без проскальзывания по достаточно шероховатой горизонтальной плоскости под действием момента , приложенного к первому катку

(рис. 2.11). Найти силы взаимодействия между катками, если для их масс , радиусы , а коэффициент трения скольжения между катками . При каком значении момента  первый каток не отрывается от горизонтальной плоскости. Трением качения пренебречь. (8 баллов)

14. По шероховатой наклонной плоскости, образующей угол  с горизонтом,  без проскальзывания катятся, примыкая друг к другу, однородные сплошной и полый цилиндры одинаковой массы  и радиуса  (рис. 2.12). Коэффициент трения между цилиндрами и между каждым из них и плоскостью . Найти ускорение центров цилиндров, их силы давления друг на друга и значение угла , при котором возможно качение по плоскости без проскальзывания. (12 баллов)

15. Каким условиям должен удовлетворять постоянный вращающий момент , чтобы с его помощью можно было однородный сплошной цилиндр радиуса  и массы  вкатить из состояния покоя на выступ круговой формы радиуса  без проскальзывания (рис. 2.13)? , коэффициент трения скольжения равен . Трением качения пренебречь. (17 баллов)

16. Материальная точка А массы  скользит по гладким горизонтальным направляющим и соединена с грузом В массы  невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через точечные блоки С и D (рис. 2.14).  - высота блока С над направляющими. В начальный момент времени расстояние  и система покоилась. Найти, с какой скоростью точка А попадет в точку К. Трением в осях блоков пренебречь. (5 баллов)

17. Точечный груз массы  съезжает по гладкой цилиндрической поверхности радиуса  (рис. 2.15), начиная движение из состояния покоя в верхней точке. В низшей точке груз попадает на шероховатую ленту транспортера, движущуюся со скоростью . Коэффициент трения между лентой и грузом равен . Найти путь скольжения груза относительно ленты. (5 баллов).

18. Шарнирно соединенные одинаковые однородные стержни длины  симметрично опираются на две гладкие тумбы, расстояние между которыми   

(рис. 2.16). В начальный момент времени стержни были горизонтальны и покоились, а затем начали падать. Трение в шарнире отсутствует. Считая, что масса стержней такова, что они не отрываются от тумб, найти скорость точки D в тот момент времени, когда концы стержней достигнут угловых точек тумб. (7 баллов)

19. Пластина представляет собой однородный диск радиуса  с круговым отверстием радиуса  (рис. 2.17), расположенный в вертикальной плоскости.

1) Какую начальную угловую скорость  нужно сообщить пластине, чтобы ее максимальный угол отклонения из положения устойчивого равновесия составил .